[рис.] a)  Левая часть уравнения имеет смысл при $\cos x больше 0$ Поэтому множитель $\sqrt{аргумента: \cos x} аргумента$ положителен. Тогда

$( \cos x - 1 ) ( \text{tg} x + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) $\sqrt{аргумента: \cos x}$ аргумента =0 = сильно $$\begin{cases} \cos x больше 0 \\[6pt] \left[ \begin{array}{l} \cos x - 1=0 \\[6pt] \text{tg} x + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента =0 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно $$\begin{cases} \cos x больше 0 \\[6pt] \left[ \begin{array}{l} \cos x=1 \\[6pt] \text{tg} x= - $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно$ $( \cos x - 1 ) ( \text{tg} x + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) $\sqrt{аргумента: \cos x}$ аргумента =0 = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \cos x больше 0 \\[6pt] \left[ \begin{array}{l} \cos x - 1=0 \\[6pt] \text{tg} x + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента =0 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно $$\begin{cases} \cos x больше 0 \\[6pt] \left[ \begin{array}{l} \cos x=1 \\[6pt] \text{tg} x= - $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \cos x больше 0 \\[6pt] \left[ \begin{array}{l} x=2 \pi k \\[6pt] x= - $\frac{\pi}{3}$ + \pi k \end{cases}$$ . k принадлежит Z \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x=2 \pi k,x= - $\frac{\pi}{3}$ + 2 \pi k, \end{array} \right. . k принадлежит Z$

б)  Корни, принадлежащие отрезку $[ 3 \pi ; $\frac{9 \pi}{2}$ ]$ отберём с помощью единичной окружности. Получаем $\frac{11 \pi}{3}$ и $4 \pi$

Ответ: а) $\{ 2 \pi k, - $\frac{\pi}{3}$ + 2 \pi k:k принадлежит Z \}$ б) $\frac{11 \pi}{3} , 4 \pi$