а)  Заметим, что:

$1 + \sin 2x = \sin ^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos ^2 x = ( \sin x + \cos x ) ^2$

и потому

$\sqrt{аргумента: 1 + \sin 2x} аргумента = $\sqrt{аргумента: ( \sin x + \cos x ) ^2}$ аргумента = | \sin x + \cos x|$

Далее имеем:

$| \sin x + \cos x| = \sin x - \cos x + 1 = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} \sin x + \cos x = \sin x - \cos x + 1 \\[6pt] \sin x + \cos x = - \sin x + \cos x - 1 \end{cases}$$ . \sin x - \cos x + 1 больше или = 0 \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} \cos x = $\frac{1}{2}$ \\[6pt] \sin x = - $\frac{1}{2}$ \end{cases}$$ . \sin x - \cos x больше или = - 1 \end{array} \right. . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x = $\frac{\pi}{3}$ + 2 \pi k \\[6pt] x = - $\frac{\pi}{3}$ + 2 \pi k \\[6pt] x = - $\frac{\pi}{6}$ + 2 \pi k \\[6pt] x = - $\frac{5 \pi}{6}$ + 2 \pi k \end{cases}$$ . \sin x - \cos x больше или = - 1, \end{array} \right. . k принадлежит Z$

Подставляя найденные серии в неравенство $\sin x - \cos x больше или = - 1$ заключаем, что подходят $x = $\frac{\pi}{3}$ + 2 \pi k$ и $x = - $\frac{5 \pi}{6}$ + 2 \pi k$
б)  Значению $k = 0$ соответствуют решения $ - \frac{5 \pi}{6}$ и $\frac{\pi}{3}$ оба этих корня принадлежат отрезку $[ - $\frac{3 \pi}{2}$ ; \pi ]$ При $k больше или = 1$ члены обеих серий больше, чем π, а при $k меньше или = - 1$ члены обеих серий меньше, чем $ - \frac{3 \pi}{2}$ Поэтому других решений на заданном отрезке нет.

Ответ: а)  $\{ - $\frac{5 \pi}{6}$ + 2 \pi k ; $\frac{\pi}{3}$ + 2 \pi k : k принадлежит Z \}$ б)  $ - \frac{5 \pi}{6}$ и $\frac{\pi}{3}$