а) Решите уравнение $\sqrt{аргумента: 1 + \sin 2x} аргумента - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos 3x = 0$
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $[ \pi ; $\frac{3 \pi}{2}$ ]$
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $[ \pi ; $\frac{3 \pi}{2}$ ]$
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.]
Рис. 1
а) Преобразуем уравнение:
$\sqrt{аргумента: 1 + \sin 2x} аргумента - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos 3x = 0 = сильно $\sqrt{аргумента: 1 + \sin 2x}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos 3x = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 1 + \sin 2x = 2 \cos ^2 3x \\[6pt] \cos 3x больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \sin 2x = \cos 6x \\[6pt] \cos 3x больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \cos ( $\frac{\pi}{2}$ - 2x ) - \cos 6x = 0 \\[6pt] \cos 3x больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} - 2 \sin \frac{$\frac{\pi}{2}$ - 2x + 6x \\[6pt] }{2} \sin \frac{$\frac{\pi}{2}$ - 2x - 6x \\[6pt] }{2} = 0 \\[6pt] \cos 3x больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \sin ( 2x + $\frac{\pi}{4}$ ) \sin ( 4x - $\frac{\pi}{4}$ ) = 0 \\[6pt] \cos 3x больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} 2x + $\frac{\pi}{4}$ = \pi k \\[6pt] 4x - $\frac{\pi}{4}$ = \pi k \end{cases}$$ . \cos 3x больше или = 0 \end{array} \right. . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x = - $\frac{\pi}{8}$ + $\frac{\pi k}{2}$ \\[6pt] ( 1 ) x = $\frac{\pi}{16}$ + $\frac{\pi k}{4}$ \\[6pt] ( 2 ) \end{cases}$$ . \cos 3x больше или = 0, \end{array} \right. . k принадлежит Z$ $\sqrt{аргумента: 1 + \sin 2x} аргумента - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos 3x = 0 = сильно $\sqrt{аргумента: 1 + \sin 2x}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos 3x = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 1 + \sin 2x = 2 \cos ^2 3x \\[6pt] \cos 3x больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \sin 2x = \cos 6x \\[6pt] \cos 3x больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \cos ( $\frac{\pi}{2}$ - 2x ) - \cos 6x = 0 \\[6pt] \cos 3x больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} - 2 \sin \frac{$\frac{\pi}{2}$ - 2x + 6x \\[6pt] }{2} \sin \frac{$\frac{\pi}{2}$ - 2x - 6x \\[6pt] }{2} = 0 \\[6pt] \cos 3x больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \sin ( 2x + $\frac{\pi}{4}$ ) \sin ( 4x - $\frac{\pi}{4}$ ) = 0 \\[6pt] \cos 3x больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} 2x + $\frac{\pi}{4}$ = \pi k \\[6pt] 4x - $\frac{\pi}{4}$ = \pi k \end{cases}$$ . \cos 3x больше или = 0 \end{array} \right. . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x = - $\frac{\pi}{8}$ + $\frac{\pi k}{2}$ \\[6pt] ( 1 ) x = $\frac{\pi}{16}$ + $\frac{\pi k}{4}$ \\[6pt] ( 2 ) \end{cases}$$ . \cos 3x больше или = 0, \end{array} \right. . k принадлежит Z$ $\sqrt{аргумента: 1 + \sin 2x} аргумента - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos 3x = 0 = сильно$
$ = сильно $\sqrt{аргумента: 1 + \sin 2x}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos 3x = сильно $$\begin{cases} 1 + \sin 2x = 2 \cos ^2 3x \\[6pt] \cos 3x больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \sin 2x = \cos 6x \\[6pt] \cos 3x больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \cos ( $\frac{\pi}{2}$ - 2x ) - \cos 6x = 0 \\[6pt] \cos 3x больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} - 2 \sin \frac{$\frac{\pi}{2}$ - 2x + 6x \\[6pt] }{2} \sin \frac{$\frac{\pi}{2}$ - 2x - 6x \\[6pt] }{2} = 0 \\[6pt] \cos 3x больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \sin ( 2x + $\frac{\pi}{4}$ ) \sin ( 4x - $\frac{\pi}{4}$ ) = 0 \\[6pt] \cos 3x больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} 2x + $\frac{\pi}{4}$ = \pi k \\[6pt] 4x - $\frac{\pi}{4}$ = \pi k \end{cases}$$ . \cos 3x больше или = 0 \end{array} \right. . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x = - $\frac{\pi}{8}$ + $\frac{\pi k}{2}$ \\[6pt] ( 1 ) x = $\frac{\pi}{16}$ + $\frac{\pi k}{4}$ \\[6pt] ( 2 ) \end{cases}$$ . \cos 3x больше или = 0, \end{array} \right. . k принадлежит Z$ $\sqrt{аргумента: 1 + \sin 2x} аргумента - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos 3x = 0 = сильно$
$ = сильно $\sqrt{аргумента: 1 + \sin 2x}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos 3x = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 1 + \sin 2x = 2 \cos ^2 3x \\[6pt] \cos 3x больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \sin 2x = \cos 6x \\[6pt] \cos 3x больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \cos ( $\frac{\pi}{2}$ - 2x ) - \cos 6x = 0 \\[6pt] \cos 3x больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} - 2 \sin \frac{$\frac{\pi}{2}$ - 2x + 6x \\[6pt] }{2} \sin \frac{$\frac{\pi}{2}$ - 2x - 6x \\[6pt] }{2} = 0 \\[6pt] \cos 3x больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \sin ( 2x + $\frac{\pi}{4}$ ) \sin ( 4x - $\frac{\pi}{4}$ ) = 0 \\[6pt] \cos 3x больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} 2x + $\frac{\pi}{4}$ = \pi k \\[6pt] 4x - $\frac{\pi}{4}$ = \pi k \end{cases}$$ . \cos 3x больше или = 0 \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x = - $\frac{\pi}{8}$ + $\frac{\pi k}{2}$ \\[6pt] ( 1 ) x = $\frac{\pi}{16}$ + $\frac{\pi k}{4}$ \\[6pt] ( 2 ) \end{cases}$$ . \cos 3x больше или = 0, \end{array} \right. . k принадлежит Z$
[рис.]
Рис. 2
Отметим корни полученных серий и область допустимых значений на единичной окружности. Оранжевым обозначим промежутки $\cos 3x больше или = 0$ зелеными точками покажем корни серии (1), синими — корни серии (2) (см. рис. 1). Из рисунка получаем, что
$$$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x = - $\frac{\pi}{8}$ + $\frac{\pi k}{2}$ \\[6pt] x = $\frac{\pi}{16}$ + $\frac{\pi k}{4}$ \end{cases}$$ . \cos 3x больше или = 0 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x = - $\frac{\pi}{8}$ + 2 \pi k, x = $\frac{11 \pi}{8}$ + 2 \pi k, x = $\frac{\pi}{16}$ + 2 \pi k, x = $\frac{9 \pi}{16}$ + 2 \pi k, x = $\frac{13 \pi}{16}$ + 2 \pi k, x = $\frac{21 \pi}{16}$ + 2 \pi k, \end{array} \right. . k принадлежит Z$
б) Отберем корни при помощи единичной окружности (см. рис. 2). Подходят числа $\frac{21 \pi}{16}$ и $\frac{11 \pi}{8}$
Ответ: а) $\{ - $\frac{\pi}{8}$ + 2 \pi k; $\frac{11 \pi}{8}$ + 2 \pi k; $\frac{\pi}{16}$ + 2 \pi k; $\frac{9 \pi}{16}$ + 2 \pi k; $\frac{13 \pi}{16}$ + 2 \pi k; $\frac{21 \pi}{16}$ + 2 \pi k : k принадлежит Z \}$ б) $\frac{21 \pi}{16}$ и $\frac{11 \pi}{8}$
Рис. 1
а) Преобразуем уравнение:
$\sqrt{аргумента: 1 + \sin 2x} аргумента - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos 3x = 0 = сильно $\sqrt{аргумента: 1 + \sin 2x}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos 3x = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 1 + \sin 2x = 2 \cos ^2 3x \\[6pt] \cos 3x больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \sin 2x = \cos 6x \\[6pt] \cos 3x больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \cos ( $\frac{\pi}{2}$ - 2x ) - \cos 6x = 0 \\[6pt] \cos 3x больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} - 2 \sin \frac{$\frac{\pi}{2}$ - 2x + 6x \\[6pt] }{2} \sin \frac{$\frac{\pi}{2}$ - 2x - 6x \\[6pt] }{2} = 0 \\[6pt] \cos 3x больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \sin ( 2x + $\frac{\pi}{4}$ ) \sin ( 4x - $\frac{\pi}{4}$ ) = 0 \\[6pt] \cos 3x больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} 2x + $\frac{\pi}{4}$ = \pi k \\[6pt] 4x - $\frac{\pi}{4}$ = \pi k \end{cases}$$ . \cos 3x больше или = 0 \end{array} \right. . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x = - $\frac{\pi}{8}$ + $\frac{\pi k}{2}$ \\[6pt] ( 1 ) x = $\frac{\pi}{16}$ + $\frac{\pi k}{4}$ \\[6pt] ( 2 ) \end{cases}$$ . \cos 3x больше или = 0, \end{array} \right. . k принадлежит Z$ $\sqrt{аргумента: 1 + \sin 2x} аргумента - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos 3x = 0 = сильно $\sqrt{аргумента: 1 + \sin 2x}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos 3x = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 1 + \sin 2x = 2 \cos ^2 3x \\[6pt] \cos 3x больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \sin 2x = \cos 6x \\[6pt] \cos 3x больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \cos ( $\frac{\pi}{2}$ - 2x ) - \cos 6x = 0 \\[6pt] \cos 3x больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} - 2 \sin \frac{$\frac{\pi}{2}$ - 2x + 6x \\[6pt] }{2} \sin \frac{$\frac{\pi}{2}$ - 2x - 6x \\[6pt] }{2} = 0 \\[6pt] \cos 3x больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \sin ( 2x + $\frac{\pi}{4}$ ) \sin ( 4x - $\frac{\pi}{4}$ ) = 0 \\[6pt] \cos 3x больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} 2x + $\frac{\pi}{4}$ = \pi k \\[6pt] 4x - $\frac{\pi}{4}$ = \pi k \end{cases}$$ . \cos 3x больше или = 0 \end{array} \right. . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x = - $\frac{\pi}{8}$ + $\frac{\pi k}{2}$ \\[6pt] ( 1 ) x = $\frac{\pi}{16}$ + $\frac{\pi k}{4}$ \\[6pt] ( 2 ) \end{cases}$$ . \cos 3x больше или = 0, \end{array} \right. . k принадлежит Z$ $\sqrt{аргумента: 1 + \sin 2x} аргумента - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos 3x = 0 = сильно$
$ = сильно $\sqrt{аргумента: 1 + \sin 2x}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos 3x = сильно $$\begin{cases} 1 + \sin 2x = 2 \cos ^2 3x \\[6pt] \cos 3x больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \sin 2x = \cos 6x \\[6pt] \cos 3x больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \cos ( $\frac{\pi}{2}$ - 2x ) - \cos 6x = 0 \\[6pt] \cos 3x больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} - 2 \sin \frac{$\frac{\pi}{2}$ - 2x + 6x \\[6pt] }{2} \sin \frac{$\frac{\pi}{2}$ - 2x - 6x \\[6pt] }{2} = 0 \\[6pt] \cos 3x больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \sin ( 2x + $\frac{\pi}{4}$ ) \sin ( 4x - $\frac{\pi}{4}$ ) = 0 \\[6pt] \cos 3x больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} 2x + $\frac{\pi}{4}$ = \pi k \\[6pt] 4x - $\frac{\pi}{4}$ = \pi k \end{cases}$$ . \cos 3x больше или = 0 \end{array} \right. . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x = - $\frac{\pi}{8}$ + $\frac{\pi k}{2}$ \\[6pt] ( 1 ) x = $\frac{\pi}{16}$ + $\frac{\pi k}{4}$ \\[6pt] ( 2 ) \end{cases}$$ . \cos 3x больше или = 0, \end{array} \right. . k принадлежит Z$ $\sqrt{аргумента: 1 + \sin 2x} аргумента - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos 3x = 0 = сильно$
$ = сильно $\sqrt{аргумента: 1 + \sin 2x}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos 3x = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 1 + \sin 2x = 2 \cos ^2 3x \\[6pt] \cos 3x больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \sin 2x = \cos 6x \\[6pt] \cos 3x больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \cos ( $\frac{\pi}{2}$ - 2x ) - \cos 6x = 0 \\[6pt] \cos 3x больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} - 2 \sin \frac{$\frac{\pi}{2}$ - 2x + 6x \\[6pt] }{2} \sin \frac{$\frac{\pi}{2}$ - 2x - 6x \\[6pt] }{2} = 0 \\[6pt] \cos 3x больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \sin ( 2x + $\frac{\pi}{4}$ ) \sin ( 4x - $\frac{\pi}{4}$ ) = 0 \\[6pt] \cos 3x больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} 2x + $\frac{\pi}{4}$ = \pi k \\[6pt] 4x - $\frac{\pi}{4}$ = \pi k \end{cases}$$ . \cos 3x больше или = 0 \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x = - $\frac{\pi}{8}$ + $\frac{\pi k}{2}$ \\[6pt] ( 1 ) x = $\frac{\pi}{16}$ + $\frac{\pi k}{4}$ \\[6pt] ( 2 ) \end{cases}$$ . \cos 3x больше или = 0, \end{array} \right. . k принадлежит Z$
[рис.]
Рис. 2
Отметим корни полученных серий и область допустимых значений на единичной окружности. Оранжевым обозначим промежутки $\cos 3x больше или = 0$ зелеными точками покажем корни серии (1), синими — корни серии (2) (см. рис. 1). Из рисунка получаем, что
$$$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x = - $\frac{\pi}{8}$ + $\frac{\pi k}{2}$ \\[6pt] x = $\frac{\pi}{16}$ + $\frac{\pi k}{4}$ \end{cases}$$ . \cos 3x больше или = 0 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x = - $\frac{\pi}{8}$ + 2 \pi k, x = $\frac{11 \pi}{8}$ + 2 \pi k, x = $\frac{\pi}{16}$ + 2 \pi k, x = $\frac{9 \pi}{16}$ + 2 \pi k, x = $\frac{13 \pi}{16}$ + 2 \pi k, x = $\frac{21 \pi}{16}$ + 2 \pi k, \end{array} \right. . k принадлежит Z$
б) Отберем корни при помощи единичной окружности (см. рис. 2). Подходят числа $\frac{21 \pi}{16}$ и $\frac{11 \pi}{8}$
Ответ: а) $\{ - $\frac{\pi}{8}$ + 2 \pi k; $\frac{11 \pi}{8}$ + 2 \pi k; $\frac{\pi}{16}$ + 2 \pi k; $\frac{9 \pi}{16}$ + 2 \pi k; $\frac{13 \pi}{16}$ + 2 \pi k; $\frac{21 \pi}{16}$ + 2 \pi k : k принадлежит Z \}$ б) $\frac{21 \pi}{16}$ и $\frac{11 \pi}{8}$
Правильный ответ:
а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 16 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 16 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 16 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 21 Пи , знаменатель: 16 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка$ б) $дробь: числитель: 21 Пи , знаменатель: 16 конец дроби$ и $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 8 конец дроби$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 67433 • Задание №13
а) Решите уравнение $тангенс в квадрате x плюс левая круглая скобка 1 плюс корень из: начало аргумента: 3 кон...
ID 65708 • Задание №7
Найдите значение выражения $дробь: числитель: левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка дробь: чис...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а),
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 2
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а),
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 2
🔗 Другие задания линии №13 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 67377
а) Решите уравнение $9 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель...
ID 67378
а) Решите уравнение: $4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 2 в степе...
ID 67379
а) Решите уравнение $27 в степени x минус 5 умножить на 9 в степени x минус 3 в степени левая ...
ID 67380
а) Решите уравнение $4 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 1 правая круг...
ID 67381
а) Решите уравнение $3 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: ...