Рассмотрим второе неравенство системы.
Сначала найдем значения $х$ при которых левая часть неравенства обращается в нуль. Таковыми будут числа: −2; 1; 3. (Заметим при этом, что при $x=3 x ^2 + x - 2 больше 0 )$
Решим систему:

$$$\begin{cases} новая строка x ^2 + x - 2 больше 0 \\[6pt] новая строка x - 3 больше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка \left[ \begin{array}{l} x меньше - 2 \\[6pt] x больше 1 \end{cases}$$ . новая строка x больше 3 \end{array} \right. . = сильно x больше 3$

Решения второго неравенства системы: $\{ - 2;1 \} \cup [ 3; + бесконечность )$
Теперь решим первое неравенство системы. Рассмотрим его на части решений второго неравенства: на множестве $M= ( 3; + бесконечность )$ число 3 не входит в искомые решения:

$\frac{1}{x + 6} + $\frac{1}{x - 2}$ - $\frac{1}{x - 3}$ больше или = 0 = сильно $\frac{1}{x + 6}$ + $\frac{x - 3 - x + 2}{( x - 2 ) \cdot ( x - 3 )}$ больше или = 0 = сильно $\frac{1}{x + 6}$ - $\frac{1}{( x - 2 ) \cdot ( x - 3 )}$ больше или = 0 = сильно$ $\frac{1}{x + 6} + $\frac{1}{x - 2}$ - $\frac{1}{x - 3}$ больше или = 0 = сильно $\frac{1}{x + 6}$ + $\frac{x - 3 - x + 2}{( x - 2 ) \cdot ( x - 3 )}$ больше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{1}{x + 6}$ - $\frac{1}{( x - 2 ) \cdot ( x - 3 )}$ больше или = 0 = сильно$ $\frac{1}{x + 6} + $\frac{1}{x - 2}$ - $\frac{1}{x - 3}$ больше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{1}{x + 6}$ + $\frac{x - 3 - x + 2}{( x - 2 ) \cdot ( x - 3 )}$ больше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{1}{x + 6}$ - $\frac{1}{( x - 2 ) \cdot ( x - 3 )}$ больше или = 0 = сильно$

$ = сильно $\frac{x ^2 - 5x + 6 - x - 6}{( x + 6 ) \cdot ( x - 2 ) \cdot ( x - 3 )}$ больше или = 0 = сильно $\frac{x ^2 - 6x}{( x + 6 ) \cdot ( x - 2 ) \cdot ( x - 3 )}$ больше или = 0 = сильно $\frac{x \cdot ( x - 6 )}{( x + 6 ) \cdot ( x - 2 ) \cdot ( x - 3 )}$ больше или = 0$ $ = сильно $\frac{x ^2 - 5x + 6 - x - 6}{( x + 6 ) \cdot ( x - 2 ) \cdot ( x - 3 )}$ больше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{x ^2 - 6x}{( x + 6 ) \cdot ( x - 2 ) \cdot ( x - 3 )}$ больше или = 0 = сильно $\frac{x \cdot ( x - 6 )}{( x + 6 ) \cdot ( x - 2 ) \cdot ( x - 3 )}$ больше или = 0$ $ = сильно $\frac{x ^2 - 5x + 6 - x - 6}{( x + 6 ) \cdot ( x - 2 ) \cdot ( x - 3 )}$ больше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{x ^2 - 6x}{( x + 6 ) \cdot ( x - 2 ) \cdot ( x - 3 )}$ больше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{x \cdot ( x - 6 )}{( x + 6 ) \cdot ( x - 2 ) \cdot ( x - 3 )}$ больше или = 0$

Так как при всех $x больше 3$ будут также выполнены условия: $x + 6 больше 0$ $x - 3 больше 0$ $x - 2 больше 0$ то на множестве $M= ( 3; + бесконечность )$ $\frac{x \cdot ( x - 6 )}{( x + 6 ) \cdot ( x - 2 ) \cdot ( x - 3 )} больше или = 0 = сильно x - 6 больше или = 0 = сильно x больше или = 6$
Проверим, являются ли числа −2 и 1 решениями первого неравенства системы.
При $x= - 2$ $\frac{1}{x + 6} + $\frac{1}{x - 2}$ - $\frac{1}{x - 3}$ = $\frac{1}{4}$ - $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ больше 0$ при $x=1$ $\frac{1}{x + 6} + $\frac{1}{x - 2}$ - $\frac{1}{x - 3}$ = $\frac{1}{7}$ - 1 + $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{5}$ меньше 0$ Итак, число −2 является элементом множества решений первого неравенства системы, тогда как число 1 таковым не является.
Следовательно, решения исходной системы: $\{ - 2 \} \cup [ 6; + бесконечность )$

Ответ: $[ 6; + бесконечность ) \cup \{ - 2 \}$