Решим первое неравенство системы. Введем новую переменную. Пусть $\sqrt{аргумента: x + 2} аргумента =t,t больше 0$ Тогда:

$t - $\frac{4}{t}$ - 3 меньше или = 0 = сильно t ^2 - 3t - 4 меньше или = 0 = сильно - 1 меньше или = t меньше или = 4$

Поскольку $t больше 0$ то $0 меньше t меньше или = 4$
Перейдем к переменной $x:$

$0 меньше $\sqrt{аргумента: x + 2}$ аргумента меньше или = 4 = сильно 0 меньше x + 2 меньше или = 16 = сильно - 2 меньше x меньше или = 14$

Решения первого неравенства системы: $( - 2;14 ]$
Решим второе неравенство системы только на множестве $( - 2;14 ] :$

$\frac{20}{x ^2 - 7x + 12} + $\frac{10}{x - 4}$ + 1 больше 0 = сильно $\frac{20}{( x - 3 ) \cdot ( x - 4 )}$ + $\frac{10}{x - 4}$ + 1 больше 0 = сильно $\frac{10}{x - 4}$ \cdot ( $\frac{2}{x - 3}$ + 1 ) + 1 больше 0 = сильно$ $\frac{20}{x ^2 - 7x + 12} + $\frac{10}{x - 4}$ + 1 больше 0 = сильно $\frac{20}{( x - 3 ) \cdot ( x - 4 )}$ + $\frac{10}{x - 4}$ + 1 больше 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{10}{x - 4}$ \cdot ( $\frac{2}{x - 3}$ + 1 ) + 1 больше 0 = сильно$ $\frac{20}{x ^2 - 7x + 12} + $\frac{10}{x - 4}$ + 1 больше 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{20}{( x - 3 ) \cdot ( x - 4 )}$ + $\frac{10}{x - 4}$ + 1 больше 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{10}{x - 4}$ \cdot ( $\frac{2}{x - 3}$ + 1 ) + 1 больше 0 = сильно$

$ = сильно $\frac{10}{x - 4}$ \cdot $\frac{2 + x - 3}{x - 3}$ + 1 больше 0 = сильно $\frac{10}{x - 4}$ \cdot $\frac{x - 1}{x - 3}$ + 1 больше 0 = сильно$

$ = сильно $\frac{10x - 10 + x ^2 - 7x + 12}{( x - 4 ) \cdot ( x - 3 )}$ больше 0 = сильно $\frac{x ^2 + 3x + 2}{( x - 4 ) \cdot ( x - 3 )}$ больше 0 = сильно$

$ = сильно $\frac{( x + 1 ) \cdot ( x + 2 )}{( x - 4 ) \cdot ( x - 3 )}$ больше 0 = сильно $\frac{x + 1}{( x - 4 ) \cdot ( x - 3 )}$ больше 0$

Решения последнего неравенства получим методом интервалов.

[рис.]

Решения второго неравенства системы на множестве $( - 2;14 ] :$ $( - 1;3 ) \cup ( 4;14 ]$
Это же множество есть решения исходной системы.

Ответ: $( - 1;3 ) \cup ( 4;14 ]$