Рассмотрим первое неравенство. Найдем ограничения на $x:$

$$$\begin{cases} новая строка x ^2 - 4 меньше или = 0 \\[6pt] новая строка 2x + 2 больше 0 \\[6pt] новая строка x больше - 3 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка - 2 меньше или = x меньше или = 2 \\[6pt] новая строка x больше - 1 \\[6pt] новая строка x больше - 3 \end{cases}$$ . = сильно - 1 меньше x меньше или = 2$

Для таких значений x будем иметь:

$( $\sqrt{аргумента: 4 - x}$ аргумента ^2 - 2 ) \cdot ( \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 2x + 2}$ аргумента} - \frac{1}{$\sqrt{аргумента: x + 3}$ аргумента} ) больше или = 0 = сильно ( 4 - x ^2 - 4 ) \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: x + 3}$ аргумента - $\sqrt{аргумента: 2x + 2}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: 2x + 2}$ аргумента \cdot $\sqrt{аргумента: x + 3}$ аргумента} больше или = 0 = сильно$ $( $\sqrt{аргумента: 4 - x}$ аргумента ^2 - 2 ) \cdot ( \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 2x + 2}$ аргумента} - \frac{1}{$\sqrt{аргумента: x + 3}$ аргумента} ) больше или = 0 = сильно$
$ = сильно ( 4 - x ^2 - 4 ) \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: x + 3}$ аргумента - $\sqrt{аргумента: 2x + 2}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: 2x + 2}$ аргумента \cdot $\sqrt{аргумента: x + 3}$ аргумента} больше или = 0 = сильно$

$ = сильно - x ^2 \cdot ( x + 3 - 2x - 2 ) больше или = 0 = сильно x ^2 \cdot ( x - 1 ) больше или = 0$

Решения последнего неравенства получим методом интервалов:

[рис.]

Решения первого неравенства системы: $\{ 0 \} \cup [ 1;2 ]$
Решим второе неравенство системы. Введем новую переменную $t= ( $\frac{3}{2}$ ) в степени ( x ) , t больше 0$ Тогда $3 в степени ( x ) =2 в степени ( x ) \cdot t$ и второе неравенство примет вид:

$\frac{8}{9} \cdot $\frac{2 в степени ( x ) \cdot t}{2 в степени ( x ) t - 2 в степени ( x )}$ меньше или = 1 + $\frac{1}{t}$ = сильно $\frac{8}{9}$ \cdot $\frac{t}{t - 1}$ меньше или = $\frac{t + 1}{t}$ = сильно $\frac{8t}{9 ( t - 1 )}$ - $\frac{t + 1}{t}$ меньше или = 0 = сильно $\frac{8t ^2 - 9 ( t ^2 - 1 )}{t ( t - 1 )}$ меньше или = 0 = сильно$ $\frac{8}{9} \cdot $\frac{2 в степени ( x ) \cdot t}{2 в степени ( x ) t - 2 в степени ( x )}$ меньше или = 1 + $\frac{1}{t}$ = сильно $\frac{8}{9}$ \cdot $\frac{t}{t - 1}$ меньше или = $\frac{t + 1}{t}$ = сильно$
$ = сильно $\frac{8t}{9 ( t - 1 )}$ - $\frac{t + 1}{t}$ меньше или = 0 = сильно $\frac{8t ^2 - 9 ( t ^2 - 1 )}{t ( t - 1 )}$ меньше или = 0 = сильно$

$ = сильно $\frac{t ^2 - 9}{t - 1}$ больше или = 0 = сильно $\frac{( t - 3 ) \cdot ( t + 3 )}{t - 1}$ больше или = 0 = сильно $\frac{( t - 3 ) \cdot ( t + 3 )}{t - 1}$ больше или = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка 0 меньше t меньше 1, новая строка t больше или = 3. \end{array} \right.$ $ = сильно $\frac{t ^2 - 9}{t - 1}$ больше или = 0 = сильно $\frac{( t - 3 ) \cdot ( t + 3 )}{t - 1}$ больше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{( t - 3 ) \cdot ( t + 3 )}{t - 1}$ больше или = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка 0 меньше t меньше 1, новая строка t больше или = 3. \end{array} \right.$

Получили: $0 меньше t меньше 1, t больше или = 3$ Перейдем к переменной $x:$

$0 меньше ( $\frac{3}{2}$ ) в степени ( x ) меньше 1 = сильно x меньше 0. ( $\frac{3}{2}$ ) в степени ( x ) больше или = 3 ( $\frac{3}{2}$ ) в степени ( x ) больше или = ( $\frac{3}{2}$ ) в степени ( \log ) _ $\frac{3}{2}$ 3 x больше или = \log _ $\frac{3}{2}$ 3$

Таким образом, решениями второго неравенства является множество $( - бесконечность ;0 ) \cup [ \log _ $\frac{3}{2}$ 3; + бесконечность )$
Однако, пересечение решений обоих неравенств системы окажется пустым, поскольку $\log _ $\frac{3}{2}$ 3 больше 2$ Докажем это:

$\log _ $\frac{3}{2}$ 3 больше 2 = сильно \log _ $\frac{3}{2}$ 3 больше \log _ $\frac{3}{2}$ $\frac{9}{4}$ = сильно 3 больше $\frac{9}{4}$ = сильно 3 больше 2,25$ (неравенство очевидное).

Это с одной стороны. С другой же стороны, первое неравенство отрицательных решений не имеет.

Ответ: система решений не имеет.