Решим первое неравенство системы. Ограничение на $x: x больше или = 0$ Для таких $x:$

$\frac{1}{$\sqrt{аргумента: x}$ аргумента + 2} больше или = \frac{2}{4 - $\sqrt{аргумента: x}$ аргумента} = сильно \frac{1}{$\sqrt{аргумента: x}$ аргумента + 2} + \frac{2}{$\sqrt{аргумента: x}$ аргумента - 4} больше или = 0 = сильно \frac{$\sqrt{аргумента: x}$ аргумента - 4 + 2 $\sqrt{аргумента: x}$ аргумента + 4}{( $\sqrt{аргумента: x}$ аргумента + 2 ) \cdot ( $\sqrt{аргумента: x}$ аргумента - 4 )} больше или = 0 = сильно \frac{$\sqrt{аргумента: x}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: x}$ аргумента - 4} больше или = 0 = сильно$ $\frac{1}{$\sqrt{аргумента: x}$ аргумента + 2} больше или = \frac{2}{4 - $\sqrt{аргумента: x}$ аргумента} = сильно \frac{1}{$\sqrt{аргумента: x}$ аргумента + 2} + \frac{2}{$\sqrt{аргумента: x}$ аргумента - 4} больше или = 0 = сильно$
$ = сильно \frac{$\sqrt{аргумента: x}$ аргумента - 4 + 2 $\sqrt{аргумента: x}$ аргумента + 4}{( $\sqrt{аргумента: x}$ аргумента + 2 ) \cdot ( $\sqrt{аргумента: x}$ аргумента - 4 )} больше или = 0 = сильно \frac{$\sqrt{аргумента: x}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: x}$ аргумента - 4} больше или = 0 = сильно$

$ = сильно $\frac{x}{x - 16}$ больше или = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка x=0 , новая строка x больше 16. \end{array} \right.$

Решениями первого неравенства системы являются элементы множества $0\cup ( 16; + бесконечность )$
Рассмотрим второе неравенство системы на множестве решений первого неравенства.
При $x=0$ имеем:

$\log _ $\frac{1}{7}$ \log _3 $\frac{1 + 1}{1}$ больше или = 0 = сильно \log _ $\frac{1}{7}$ \log _32 больше или = \log _ $\frac{1}{7}$ 1 = сильно \log _32 меньше или = 1 = сильно = сильно \log _32 меньше или = \log _33 = сильно 2 меньше или = 3$ $\log _ $\frac{1}{7}$ \log _3 $\frac{1 + 1}{1}$ больше или = 0 = сильно \log _ $\frac{1}{7}$ \log _32 больше или = \log _ $\frac{1}{7}$ 1 = сильно$
$ = сильно \log _32 меньше или = 1 = сильно = сильно \log _32 меньше или = \log _33 = сильно 2 меньше или = 3$

Получили очевидное неравенство. Значит, $x=0$ удовлетворяет исходной системе.
Для удобства в дальнейшей работе второе неравенство перепишем так:

$\log _ $\frac{1}{7}$ \log _3 $\frac{|x - 1| + |x + 1|}{2x + 1}$ больше или = 0$

При $x больше 16:$ $x - 1 больше 0, |x - 1| больше x - 1,x + 1 больше 0,|x + 1| больше x + 1$

$\log _ $\frac{1}{7}$ \log _3 $\frac{x - 1 + x + 1}{2x + 1}$ больше или = 0 = сильно \log _ $\frac{1}{7}$ \log _3 $\frac{2x}{2x + 1}$ больше или = \log _ $\frac{1}{7}$ 1 = сильно 0 меньше \log _3 $\frac{2x}{2x + 1}$ меньше или = 1 = сильно$ $\log _ $\frac{1}{7}$ \log _3 $\frac{x - 1 + x + 1}{2x + 1}$ больше или = 0 = сильно$
$ = сильно \log _ $\frac{1}{7}$ \log _3 $\frac{2x}{2x + 1}$ больше или = \log _ $\frac{1}{7}$ 1 = сильно 0 меньше \log _3 $\frac{2x}{2x + 1}$ меньше или = 1 = сильно$

$ = сильно \log _31 меньше \log _3 $\frac{2x}{2x + 1}$ меньше или = \log _33 = сильно 1 меньше $\frac{2x}{2x + 1}$ меньше или = 3 = сильно 2x + 1 меньше 2x меньше 6x + 3$ $ = сильно \log _31 меньше \log _3 $\frac{2x}{2x + 1}$ меньше или = \log _33 = сильно$
$ = сильно 1 меньше $\frac{2x}{2x + 1}$ меньше или = 3 = сильно 2x + 1 меньше 2x меньше 6x + 3$

Однако, неравенство $2x + 1 меньше 2x$ при $x больше 16$ невыполнимо. Следовательно, решения исходной системы $\{ 0 \}$

Ответ: $\{ 0 \}$