Рассмотрим второе неравенство системы. Ограничение на $х:x больше 5$ Для таких значений переменной будем иметь:

$\frac{1}{4} \log _2 ( x - 2 ) - $\frac{1}{2}$ меньше или = \log _ $\frac{1}{4}$ ( x - 5 ) в степени ( $\frac{1}{2}$ ) = сильно $\frac{1}{4}$ \log _2 ( x - 2 ) - $\frac{1}{2}$ меньше или = - $\frac{1}{4}$ \log _2 ( x - 5 ) = сильно$ $\frac{1}{4} \log _2 ( x - 2 ) - $\frac{1}{2}$ меньше или = \log _ $\frac{1}{4}$ ( x - 5 ) в степени ( $\frac{1}{2}$ ) = сильно$
$ = сильно $\frac{1}{4}$ \log _2 ( x - 2 ) - $\frac{1}{2}$ меньше или = - $\frac{1}{4}$ \log _2 ( x - 5 ) = сильно$

$ = сильно $\frac{1}{4}$ \log _2 ( x - 2 ) + $\frac{1}{4}$ \log _2 ( x - 5 ) меньше или = $\frac{1}{2}$ = сильно \log _2 ( x - 2 ) + \log _2 ( x - 5 ) меньше или = 2 = сильно$

$ = сильно \log _2 ( ( x - 2 ) ( x - 5 ) ) меньше или = \log _24 = сильно x ^2 - 7x + 10 меньше или = 4 = сильно$

$ = сильно x ^2 - 7x + 6 меньше или = 0 = сильно 1 меньше x меньше или = 6$

С учетом ограничений на х получим: $5 меньше x меньше или = 6$
Решения второго неравенства: $( 5; 6 ]$
Теперь рассмотрим первое неравенство системы на множестве решений второго неравенства: $х - 5 больше 0$ $|x - 5|=x - 5$ $x - 6 меньше или = 0$ $|x - 6|= - x + 6$ В таком случае первое неравенство системы будет иметь вид:

$$$\begin{cases} новая строка 5 меньше x меньше или = 6 \\[6pt] новая строка $\frac{x - 5 - 1}{12 - 2x - 4}$ - 1 меньше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка 5 меньше x меньше или = 6 \\[6pt] новая строка $\frac{x - 6}{2x - 8}$ + 1 больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка 5 меньше x меньше или = 6 \\[6pt] новая строка $\frac{x - 6 + 2x - 8}{2x - 8}$ больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$

$ = сильно $$\begin{cases} новая строка 5 меньше x меньше или = 6 \\[6pt] новая строка $\frac{3x - 14}{x - 4}$ больше или = 0 \end{cases}$$ . $$\begin{cases} новая строка 5 меньше x меньше или = 6 \\[6pt] новая строка \left[ \begin{array}{l} x меньше 4 \\[6pt] x больше или = $\frac{14}{3}$ \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно 5 меньше x меньше или = 6$

Решения исходной системы: $( 5;6 ]$

Ответ: $( 5;6 ]$