Близнецы Саша и Паша положили в банк по 50 000 рублей на три года под 10% годовых. Однако через год и Саша, и Паша сняли со своих счетов соответственно 10% и 20% имеющихся денег. Еще через год каждый из них снял со своего счета соответственно 20 000 рублей и 15 000 рублей. У кого из братьев к концу третьего года на счету окажется большая сумма денег? На сколько рублей?
💡 Пошаговый разбор и решение:
1. Табличный вариант решения:
Годы хранения
вклада
Динамика роста (падения) суммы вкладов
Саша
Паша
04.12.14
50 000
50 000
К 04.12.15
50 000 · 1,1 = 55 000
50 000 · 1,1 = 55 000
04.12.15
55 000 · 0,9 = 49 500
55 000 · 0,8 = 44 000
К 04.12.16
49 500 · 1,1 = 54 450
44 000 · 1,1 = 48 400
04.12.16
54 450 − 20 000 = 34 450
48 400 − 15 000 = 33 400
К 04.12.17
34 450 · 1,1 = 37 895
33 400 · 1,1 = 36 740
Ответ на главный вопрос задачи
37 895 − 36 740 = 1 155
2. Вариант решения с помощью выражения:
$\Delta = ( 50000 \cdot 1,1 \cdot 0,9 \cdot 1,1 - 20000 ) 1,1 - ( 50000 \cdot 1,1 \cdot 0,8 \cdot 1,1 - 15000 ) \cdot 1,1=$ $\Delta =$
$= ( 50000 \cdot 1,1 \cdot 0,9 \cdot 1,1 - 20000 ) 1,1 - ( 50000 \cdot 1,1 \cdot 0,8 \cdot 1,1 - 15000 ) \cdot 1,1=$
$=1,1 \cdot ( 50000 \cdot 1,21 \cdot 0,9 - 20000 - 50000 \cdot 1,21 \cdot 0,8 + 15000 ) =$ $=1,1 \cdot ( 50000 \cdot 1,21 \cdot 0,9 - 50000 \cdot 1,21 \cdot 0,8 - 5000 ) =1,1 \cdot ( 50000 \cdot 1,21 \cdot ( 0,9 - 0,8 ) - 5000 ) =$ $=1,1 \cdot ( 5000 \cdot 1,21 - 5000 ) =1,1 \cdot 5000 \cdot ( 1,21 - 1 ) =11 \cdot 500 \cdot 0,21=105 \cdot 11=1155$ $=1,1 \cdot ( 5000 \cdot 1,21 - 5000 ) =1,1 \cdot 5000 \cdot ( 1,21 - 1 ) =$
$=11 \cdot 500 \cdot 0,21=105 \cdot 11=1155$ $=1,1 \cdot ( 5000 \cdot 1,21 - 5000 ) =$
$=1,1 \cdot 5000 \cdot ( 1,21 - 1 ) =$
$=11 \cdot 500 \cdot 0,21=105 \cdot 11=1155$
3) Если бы ни Саша, ни Паша не снимали со счетов... их вклады выросли бы за 3 года до 50000 · 1,331 = 1331 · 100 : 2 = 133100 : 2 = 66550 (р).
Что помешало Саше?
50000 · 1,1 · 0,1 = 5000 · 1,1 = 5500 р., что он снял со счета 04.12.15 привело к уменьшению ожидаемой суммы, включая процентные начисления в течение 2 лет! А этот поступок Саши исчисляется суммой 5500 · 1,21 = 5500 · 121 = 1331 · 5 = 13310 : 2 = 6655 (р).
Те 20 000 р., которые он снял 04.12.16, привело к уменьшению ожидаемой суммы на 20 000 · 1,1 = 22 000 (р.). Итого: 28 655 р.
В конечном итоге ему причиталось 66 550 − 28 655=37895 (р.)
Что помешало Паше?
50 000 · 1,1 · 0,2 = 10 000 · 1,1 = 11000 р., что он снял со счета 04.12.15, привело к уменьшению ожидаемой суммы, включая процентные начисления в течение 2 лет! А это исчисляется суммой 11 000 · 1,21 = 1,1 · 1,21 · 10 000 = 1,331 · 10 000 = 13 310 (р).
15 000 р., которые он снял в конце 04.12.16, привело к уменьшению ожидаемой суммы на $15000 \cdot 1,1=16500$ (р.). Итого: 29 810 р.
В окончательный расчет на руки Паше выдали: 66 550 − 29 810 = 36 740 (р.)
Саша получил на 1155 р. больше, чем Паша (37895 − 36740).
Ответ: у Саши, на 1155 рублей.
Годы хранения
вклада
Динамика роста (падения) суммы вкладов
Саша
Паша
04.12.14
50 000
50 000
К 04.12.15
50 000 · 1,1 = 55 000
50 000 · 1,1 = 55 000
04.12.15
55 000 · 0,9 = 49 500
55 000 · 0,8 = 44 000
К 04.12.16
49 500 · 1,1 = 54 450
44 000 · 1,1 = 48 400
04.12.16
54 450 − 20 000 = 34 450
48 400 − 15 000 = 33 400
К 04.12.17
34 450 · 1,1 = 37 895
33 400 · 1,1 = 36 740
Ответ на главный вопрос задачи
37 895 − 36 740 = 1 155
2. Вариант решения с помощью выражения:
$\Delta = ( 50000 \cdot 1,1 \cdot 0,9 \cdot 1,1 - 20000 ) 1,1 - ( 50000 \cdot 1,1 \cdot 0,8 \cdot 1,1 - 15000 ) \cdot 1,1=$ $\Delta =$
$= ( 50000 \cdot 1,1 \cdot 0,9 \cdot 1,1 - 20000 ) 1,1 - ( 50000 \cdot 1,1 \cdot 0,8 \cdot 1,1 - 15000 ) \cdot 1,1=$
$=1,1 \cdot ( 50000 \cdot 1,21 \cdot 0,9 - 20000 - 50000 \cdot 1,21 \cdot 0,8 + 15000 ) =$ $=1,1 \cdot ( 50000 \cdot 1,21 \cdot 0,9 - 50000 \cdot 1,21 \cdot 0,8 - 5000 ) =1,1 \cdot ( 50000 \cdot 1,21 \cdot ( 0,9 - 0,8 ) - 5000 ) =$ $=1,1 \cdot ( 5000 \cdot 1,21 - 5000 ) =1,1 \cdot 5000 \cdot ( 1,21 - 1 ) =11 \cdot 500 \cdot 0,21=105 \cdot 11=1155$ $=1,1 \cdot ( 5000 \cdot 1,21 - 5000 ) =1,1 \cdot 5000 \cdot ( 1,21 - 1 ) =$
$=11 \cdot 500 \cdot 0,21=105 \cdot 11=1155$ $=1,1 \cdot ( 5000 \cdot 1,21 - 5000 ) =$
$=1,1 \cdot 5000 \cdot ( 1,21 - 1 ) =$
$=11 \cdot 500 \cdot 0,21=105 \cdot 11=1155$
3) Если бы ни Саша, ни Паша не снимали со счетов... их вклады выросли бы за 3 года до 50000 · 1,331 = 1331 · 100 : 2 = 133100 : 2 = 66550 (р).
Что помешало Саше?
50000 · 1,1 · 0,1 = 5000 · 1,1 = 5500 р., что он снял со счета 04.12.15 привело к уменьшению ожидаемой суммы, включая процентные начисления в течение 2 лет! А этот поступок Саши исчисляется суммой 5500 · 1,21 = 5500 · 121 = 1331 · 5 = 13310 : 2 = 6655 (р).
Те 20 000 р., которые он снял 04.12.16, привело к уменьшению ожидаемой суммы на 20 000 · 1,1 = 22 000 (р.). Итого: 28 655 р.
В конечном итоге ему причиталось 66 550 − 28 655=37895 (р.)
Что помешало Паше?
50 000 · 1,1 · 0,2 = 10 000 · 1,1 = 11000 р., что он снял со счета 04.12.15, привело к уменьшению ожидаемой суммы, включая процентные начисления в течение 2 лет! А это исчисляется суммой 11 000 · 1,21 = 1,1 · 1,21 · 10 000 = 1,331 · 10 000 = 13 310 (р).
15 000 р., которые он снял в конце 04.12.16, привело к уменьшению ожидаемой суммы на $15000 \cdot 1,1=16500$ (р.). Итого: 29 810 р.
В окончательный расчет на руки Паше выдали: 66 550 − 29 810 = 36 740 (р.)
Саша получил на 1155 р. больше, чем Паша (37895 − 36740).
Ответ: у Саши, на 1155 рублей.
Правильный ответ:
у Саши, на 1155 рублей
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 70973 • Задание №18
Найдите все значения a, при которых уравнение
$дробь: числитель: 4a, знаменатель: a минус 6 конец дроби умнож...
ID 65524 • Задание №6
[рис.] В треугольнике ABC угол C равен 90°, $BC = 4,8$ $косинус A = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 2
Верно построена математическая модель | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 2
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 2
Верно построена математическая модель | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 2
🔗 Другие задания линии №16 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69435
В банк был положен вклад под 10% годовых. Через год, после начисления процентов, вкладчик снял ...
ID 69436
Миша и Маша положили в один и тот же банк одинаковые суммы под 10% годовых. Через год сразу пос...
ID 69438
Василий кладет в банк 1 000 000 рублей под 10% годовых на 4 года (проценты начисляются один раз...
ID 69439
Саша положил некоторую сумму в банк на 4 года под 10% годовых. Одновременно с ним Паша такую же...
ID 69440
В начале года 5/6 некоторой суммы денег вложили в банк А, а то, что осталось — в банк Б. Если ...