Пусть сумма кредита S у. е., процентная ставка банка x %.
Предложение «Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась = мерно, то есть на одну и ту же величину» означает: Антон взятую сумму возвращал в банк равными долями. Сумма, образованная применением процентной ставки, составляет:

$0,01xS + 0,01x \cdot $\frac{5S}{6}$ + 0,01x \cdot $\frac{4S}{6}$ + ... + 0,01x \cdot $\frac{2S}{6}$ + 0,01x \cdot $\frac{S}{6}$ =0,01Sx \cdot ( 1 + $\frac{5}{6}$ + $\frac{4}{6}$ + $\frac{3}{6}$ + $\frac{2}{6}$ + $\frac{1}{6}$ ) =$ $0,01xS + 0,01x \cdot $\frac{5S}{6}$ + 0,01x \cdot $\frac{4S}{6}$ + ... + 0,01x \cdot $\frac{2S}{6}$ + 0,01x \cdot $\frac{S}{6}$ =$
$=0,01Sx \cdot ( 1 + $\frac{5}{6}$ + $\frac{4}{6}$ + $\frac{3}{6}$ + $\frac{2}{6}$ + $\frac{1}{6}$ ) =$ $=0,01Sx \cdot \frac{1 + $\frac{1}{6}$ ,}{2} \cdot 6=0,01Sx \cdot $\frac{6 + 1}{2}$ =0,035Sx$ (у. е.)

Общая сумма, выплаченная Антоном за 6 месяцев: $S + 0,035Sx= ( 1 + 0,035x ) \cdot S$ (у. е.). А эта сумма по условию задачи равна $1,63S$ у. е. Решим уравнение:

$( 1 + 0,035x ) S=1,63S = сильно 1 + 0,035x=1,63 = сильно 0,035x=0,63 = сильно x=18$ $( 1 + 0,035x ) S=1,63S = сильно 1 + 0,035x=1,63 = сильно$
$ = сильно 0,035x=0,63 = сильно x=18$

Ответ: 18.