Анатолий решил взять кредит в банке 331 000 рублей на 3 месяца под 10% в месяц. Существуют две схемы выплаты кредита.
По первой схеме банк в конце каждого месяца начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Анатолий переводит в банк фиксированную сумму и в результате выплачивает весь долг тремя равными платежами (аннуитетные платежи).
По второй схеме тоже сумма долга в конце каждого месяца увеличивается на 10%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Анатолием. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась = мерно, то есть на одну и ту же величину (дифференцированные платежи). Какую схему выгоднее выбрать Анатолию? Сколько рублей будет составлять эта выгода?
По первой схеме банк в конце каждого месяца начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Анатолий переводит в банк фиксированную сумму и в результате выплачивает весь долг тремя равными платежами (аннуитетные платежи).
По второй схеме тоже сумма долга в конце каждого месяца увеличивается на 10%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Анатолием. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась = мерно, то есть на одну и ту же величину (дифференцированные платежи). Какую схему выгоднее выбрать Анатолию? Сколько рублей будет составлять эта выгода?
💡 Пошаговый разбор и решение:
Рассмотрим первую схему. Пусть х руб. — фиксированная сумма ежемесячных выплат.
Который отчетный месяц? | Долг к концу месяца с учетом начисленных процентов (руб.) | Анатолий переводит в банк (руб.) | Долг Анатолия на начало следующего месяца (руб.)
Первый | $331000 \cdot 1,1=364100$ | х | $364100 - x$
Второй | $( 364100 - x ) \cdot 1,1=400510 - 1,1x$ | х | $400510 - 2,1x$
Третий | $( 400510 - 2,1x ) \cdot 1,1=440561 - 2,31x$ | х | $440561 - 3,31x=0$
$3,31x=440561 = сильно x=133100$ $ = сильно$ $3x=399300$
Теперь рассмотрим вторую схему.
Который отчетный месяц?
Анатолий должен перевести в банк
Часть кредита
по основному долгу (руб.)
Процентные ставки банка
Всего (руб.)
Первый
$\frac{331000}{3}$
$331000 \cdot 0,1=33100$
$\frac{331000}{3} + 33100= \frac{430300}{3}$
Второй
$\frac{331000}{3}$
$\frac{331000 \cdot 0,1 \cdot 2}{3} = \frac{66200}{3}$
$\frac{331000}{3} + $\frac{66200}{3}$ =132400$
Третий
$\frac{331000}{3}$
$\frac{331000 \cdot 0,1}{3} = \frac{33100}{3}$
$\frac{331000}{3} + $\frac{33100}{3}$ = \frac{364100}{3}$
Итак, если Анатолий воспользуется второй схемой, то он в банк должен будет вернуть сумму, равную
$\frac{430300}{3} + 132400 + $\frac{364100}{3}$ = $\frac{794400}{3}$ + 132400=397200 ( руб. )$
А эта сумма меньше, чем 399 300, на 2100 руб.
Замечание:
Эту разницу можно было бы вычислить и так:
1) $Ф= $\frac{331000 \cdot 1,1 ^3}{1,1 ^2 + 1,1 + 1}$ = $\frac{331000 \cdot 1,331}{3,31}$ =1,331 \cdot 100000=133100$
2) $3Ф=399300$
3) $331000 + 331000 \cdot 0,1 \cdot ( 1 + $\frac{2}{3}$ + $\frac{1}{3}$ ) =331000 + 33100 \cdot 2=331000 + 66200=397200$
4) $399300 - 397200=2100$
Ответ: выгодна вторая схема; 2100 рублей.
Который отчетный месяц? | Долг к концу месяца с учетом начисленных процентов (руб.) | Анатолий переводит в банк (руб.) | Долг Анатолия на начало следующего месяца (руб.)
Первый | $331000 \cdot 1,1=364100$ | х | $364100 - x$
Второй | $( 364100 - x ) \cdot 1,1=400510 - 1,1x$ | х | $400510 - 2,1x$
Третий | $( 400510 - 2,1x ) \cdot 1,1=440561 - 2,31x$ | х | $440561 - 3,31x=0$
$3,31x=440561 = сильно x=133100$ $ = сильно$ $3x=399300$
Теперь рассмотрим вторую схему.
Который отчетный месяц?
Анатолий должен перевести в банк
Часть кредита
по основному долгу (руб.)
Процентные ставки банка
Всего (руб.)
Первый
$\frac{331000}{3}$
$331000 \cdot 0,1=33100$
$\frac{331000}{3} + 33100= \frac{430300}{3}$
Второй
$\frac{331000}{3}$
$\frac{331000 \cdot 0,1 \cdot 2}{3} = \frac{66200}{3}$
$\frac{331000}{3} + $\frac{66200}{3}$ =132400$
Третий
$\frac{331000}{3}$
$\frac{331000 \cdot 0,1}{3} = \frac{33100}{3}$
$\frac{331000}{3} + $\frac{33100}{3}$ = \frac{364100}{3}$
Итак, если Анатолий воспользуется второй схемой, то он в банк должен будет вернуть сумму, равную
$\frac{430300}{3} + 132400 + $\frac{364100}{3}$ = $\frac{794400}{3}$ + 132400=397200 ( руб. )$
А эта сумма меньше, чем 399 300, на 2100 руб.
Замечание:
Эту разницу можно было бы вычислить и так:
1) $Ф= $\frac{331000 \cdot 1,1 ^3}{1,1 ^2 + 1,1 + 1}$ = $\frac{331000 \cdot 1,331}{3,31}$ =1,331 \cdot 100000=133100$
2) $3Ф=399300$
3) $331000 + 331000 \cdot 0,1 \cdot ( 1 + $\frac{2}{3}$ + $\frac{1}{3}$ ) =331000 + 33100 \cdot 2=331000 + 66200=397200$
4) $399300 - 397200=2100$
Ответ: выгодна вторая схема; 2100 рублей.
Правильный ответ:
выгодна вторая схема; 2100 рублей
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 69349 • Задание №15
В треугольнике ABC на стороне AB отмечена точка E, при этом BE = 4, EA = 5, BC = 6.
а) Докажите, что уг...
ID 64749 • Задание №3
[рис.] Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые)....
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 2
Верно построена математическая модель | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 2
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 2
Верно построена математическая модель | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 2
🔗 Другие задания линии №16 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69435
В банк был положен вклад под 10% годовых. Через год, после начисления процентов, вкладчик снял ...
ID 69436
Миша и Маша положили в один и тот же банк одинаковые суммы под 10% годовых. Через год сразу пос...
ID 69437
Близнецы Саша и Паша положили в банк по 50 000 рублей на три года под 10% годовых. Однако через...
ID 69438
Василий кладет в банк 1 000 000 рублей под 10% годовых на 4 года (проценты начисляются один раз...
ID 69439
Саша положил некоторую сумму в банк на 4 года под 10% годовых. Одновременно с ним Паша такую же...