Первое решение:
Из условия «на втором заводе для изготовления t деталей (и А, и В) требуется $t ^2$ человеко-смен» следует, что работающие на заводе 100 человек за смену смогут произвести максимум 10 деталей одного типа.
Пусть на первом комбинате х рабочих заняты на производстве детали А, а остальные 100 − х рабочих производят детали типа В, и пусть на втором комбинате из 10 деталей производится y деталей типа А и 10 − y деталей типа В. Внесем данные из условия в таблицу.

Деталь A
Деталь B

Количество
человек
Количество
деталей
Количество
человек
Количество
деталей

Первый комбинат
x
$3x$
$100 - x$
$100 - x$

Второй комбинат

y

$10 - y$

Всего

$3x + y$

$100 - x + 10 - y$

Для производства изделий деталей типа B должно быть в три раза больше деталей типа A:

$3 ( 3x + y ) = 100 - x + 10 - y = сильно x=11 - 0,4y ( * )$

Пусть s шт.  — количество изделий, оно = количеству деталей типа А: $s=3x + y$ Будем искать наибольшее возможное значение этого выражения, подставив в него (*):

$s= 3x + y = 3 \cdot ( 11 - 0,4y ) + y = 33 - 0,2y$

Наибольшему возможному значению s соответствует наибольшее значение $f ( y ) =33 - 0,2y$ при неотрицательных целых значениях y, не больших 10.
Функция $f ( y ) =33 - 0,2y$   — убывающая. Наибольшее значение на отрезке $[ 0;10 ]$ она принимает при $y=0$ при этом $x=11$ а $f ( 0 ) =33$
Таким образом, максимальное количество изделий за смену будет собрано, если на втором заводе будут изготавливать только детали типа В (100 рабочих изготовят 10 деталей типа В), а на первом заводе 11 человек изготовят 33 детали типа А, а остальные 89 рабочих изготовят 89 деталей типа В. Итого получим 33 детали типа А и 99 деталей типа В, на производстве которых были заняты все 200 человек.
Значит, комбинат сможет собрать за смену 33 изделия.

Ответ: 33 изделия.

Замечание.
Вначале мы прочли условие иначе и полагали, что на втором заводе для изготовления t деталей каждого типа (и А, и В независимо друг от друга) требуется t2 человеко-смен. Приведём решение и примечания к нему для такого понимания условия. К этому же пониманию условия относятся комментарии читателей.

Второе решение:
Пусть на первом комбинате х рабочих, а на втором комбинате y рабочих заняты на производстве детали А. Внесем данные из условия в таблицу.

Деталь A
Деталь B

Количество
человек
Количество
деталей
Количество
человек
Количество
деталей

Первый комбинат
x
$3x$
$100 - x$
$100 - x$

Второй комбинат
y
$\sqrt{аргумента: y} аргумента$
$100 - y$
$\sqrt{аргумента: 100 - y} аргумента$

Всего

$3x + $\sqrt{аргумента: y}$ аргумента$

$100 - x + $\sqrt{аргумента: 100 - y}$ аргумента$

Для производства изделий деталей типа B должно быть в три раза больше деталей типа A:

$3 ( 3x + $\sqrt{аргумента: y}$ аргумента ) = 100 - x + $\sqrt{аргумента: 100 - y}$ аргумента = сильно x=10 + 0,1 $\sqrt{аргумента: 100 - y}$ аргумента - 0,3 $\sqrt{аргумента: y}$ аргумента ( * )$ $3 ( 3x + $\sqrt{аргумента: y}$ аргумента ) = 100 - x + $\sqrt{аргумента: 100 - y}$ аргумента = сильно$
$ = сильно x=10 + 0,1 $\sqrt{аргумента: 100 - y}$ аргумента - 0,3 $\sqrt{аргумента: y}$ аргумента ( * )$

Пусть s шт  — количество изделий, оно = количеству деталей типа А: $s=3x + $\sqrt{аргумента: y}$ аргумента$ Будем искать наибольшее возможное значение этого выражения, подставив в него (*):

$s= 3x + $\sqrt{аргумента: y}$ аргумента = 3 ( 10 + 0,1 $\sqrt{аргумента: 100 - y}$ аргумента - 0,3 $\sqrt{аргумента: y}$ аргумента ) + $\sqrt{аргумента: y}$ аргумента ) = 30 + 0,1 ( $\sqrt{аргумента: y}$ аргумента + 3 $\sqrt{аргумента: 100 - y}$ аргумента )$ $s= 3x + $\sqrt{аргумента: y}$ аргумента = 3 ( 10 + 0,1 $\sqrt{аргумента: 100 - y}$ аргумента - 0,3 $\sqrt{аргумента: y}$ аргумента ) + $\sqrt{аргумента: y}$ аргумента ) =$
$= 30 + 0,1 ( $\sqrt{аргумента: y}$ аргумента + 3 $\sqrt{аргумента: 100 - y}$ аргумента )$ $s= 3x + $\sqrt{аргумента: y}$ аргумента =$
$= 3 ( 10 + 0,1 $\sqrt{аргумента: 100 - y}$ аргумента - 0,3 $\sqrt{аргумента: y}$ аргумента ) + $\sqrt{аргумента: y}$ аргумента ) =$
$= 30 + 0,1 ( $\sqrt{аргумента: y}$ аргумента + 3 $\sqrt{аргумента: 100 - y}$ аргумента )$

Наибольшему возможному значению s соответствует наибольшее значение $f ( y ) = $\sqrt{аргумента: y}$ аргумента + 3 $\sqrt{аргумента: 100 - y}$ аргумента$ при натуральных значениях y не больших 100. Имеем:

$f' ( y ) = \frac{1}{2 $\sqrt{аргумента: y}$ аргумента} - \frac{3}{2 $\sqrt{аргумента: 100 - y}$ аргумента} = \frac{$\sqrt{аргумента: 100 - y}$ аргумента - 3 $\sqrt{аргумента: y}$ аргумента}{2 $\sqrt{аргумента: 100 - y}$ аргумента \cdot $\sqrt{аргумента: y}$ аргумента}$

Найдем нули производной:

$\sqrt{аргумента: 100 - y} аргумента = 3 $\sqrt{аргумента: y}$ аргумента \undersety принадлежит N \mathop = сильно 100 - y=9y = сильно y=10$

В найденной точке производная меняет знак с + а на - , поэтому в ней функция достигает максимума, совпадающего с наибольшим значением функции на исследуемой области, равным $f ( 10 ) = $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента + 3 $\sqrt{аргумента: 90}$ аргумента =10 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента$ при этом $s= 30 + $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента$ Количество деталей должно быть натуральным числом, $3 меньше $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента меньше 4$ поэтому рабочие могут произвести, самое большее, 33 детали типа А.
Из (*) находим $x=10$ чел. Это означает, что 10 рабочиx первого комбината и 10 рабочих второго комбината должны быть заняты на производстве детали А, за сутки они произведут их 33 шт, оставшиеся 90 рабочих первого комбината и 90 рабочих второго комбината должны быть заняты на производстве деталей В, за сутки они произведут их 99 шт.

Ответ: 33 изделия.

Примечание 1.
Внимательный читатель мог бы задать вопрос о том, почему в равенстве (*) предполагается, что деталей производится ровно в отношении 1 : 3. Ведь можно произвести, например, 11 деталей типа B и 34 детали типа А, из них получится собрать 33 изделия, а одна деталь типа А останется лишней. Ответим на этот вопрос.
Если есть лишние детали, то уменьшим их число до соотношения 1 : 3 и отправим на обед людей, производивших лишние детали. Тогда получим решение задачи для меньшего числа людей, но с тем же выходом продукта и соотношением деталей 1 : 3. Теперь вернём людей с обеда. Меньшего количества изделий мы не получим, поскольку зависимость между числом деталей и количеством людей неубывающая. Большего количества изделий тоже не достичь, поскольку из лишних деталей целого изделия собрать не получится. Поэтому наибольшее количество изделий совпадет с найденным.

Примечание 2.
Заметим, что если рабочие второго комбината будут производить только детали типа В, то они произведут их 10 шт. Пусть при этом 89 рабочих первого комбината произведут 89 деталей типа В, а оставшиеся 11 рабочих первого комбината произведут 33 детали типа А. Тогда всего будет произведено 33 детали типа А и 99 деталей типа В. Из них также можно собрать 33 изделия. Таких вариантов довольно много (см. таблицу в конце).

Примечание 3.
Можно было бы спросить, почему не образовать из рабочих второго завода 100 независимых групп, каждая из которых состоит из одного рабочего.

Приведём решение Евгения Обухова.
Пусть первый завод выпускает x деталей В, а второй завод выпускает y деталей В. Тогда на первом заводе деталь В выпускает x рабочих, а деталь А выпускает $100 - x$ рабочих. Поэтому первый завод выпускает $300 - 3x$ деталей А.
На втором заводе деталь В выпускает $y ^2$ рабочих, деталь А выпускает $100 - y ^2$ рабочих. Поэтому второй завод выпускает $[ $\sqrt{аргумента: 100 - y ^2}$ аргумента ]$ деталей A. Здесь $[ ... ]$   — целая часть числа.
Пусть комбинат выпускает k изделий. Имеем следующие необходимые и достаточные условия:

$$$\begin{cases} 300 - 3x + [ $\sqrt{аргумента: 100 - y ^2}$ аргумента ] больше или = k \\[6pt] x + y больше или = 3k. \end{cases}$$$

Рассмотрим $y=10$ Тогда получим:

$$$\begin{cases} 300 - 3x больше или = k \\[6pt] x + 10 больше или = 3k. \end{cases}$$$

Домножим второе неравенство на 3 и сложим с первым, получим: $330\geqslant10k = сильно k меньше или = 33$ Заметим, что $x=89, k=33$ (при $y=10$ ) удовлетворяют исходному неравенству. То есть комбинат может изготовить 33 изделия.
Проверим, может ли он изготовить больше. Пусть $k больше или = 34$ тогда

$$$\begin{cases} 300 - 3x + [ $\sqrt{аргумента: 100 - y ^2}$ аргумента ] больше или = 34 \\[6pt] x + y больше или = 102. \end{cases}$$$

Поскольку теперь мы можем считать $y\leqslant9$ из второго неравенства находим $x\geqslant93$ Тогда оценим: $300 - 3x + [ $\sqrt{аргумента: 100 - y ^2}$ аргумента ] \leqslant300 - 3 \cdot 93 + 10=31$ Получили противоречие с первым неравенством.
Следовательно, максимальное число изделий, которое может произвести комбинат, =  33.

Приведём таблицу других вариантов, также дающих 33 изделия.

[рис.]