Строительство нового цеха по производству роботов-пылесосов стоит 300 миллионов рублей. Затраты на производство x тысяч единиц продукции на такой линии равны $0,1 x ^2 + 3 x + 100$ млн руб. в год. Если продукцию продавать по цене p тыс. руб. за единицу, то прибыль фирмы (в млн руб.) за один год составит $p x - ( 0,1 x ^2 + 3 x + 100 )$ млн руб. Когда цех будет построен, каждый год фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. В первый год после постройки цеха цена продукции p = 12 тыс. руб. за единицу, каждый следующий год цена продукции увеличивается на 1 тыс. руб. за единицу. За сколько лет окупится строительство цеха?
💡 Пошаговый разбор и решение:
Строительство цеха окупится, когда суммарная прибыль за первые несколько лет окажется не меньше 300 млн руб. Прибыль фирмы (в млн руб.) за первый год составит
$P_1=12 x - ( 0,1 x ^2 + 3 x + 100 ) = - 0,1 x ^2 + 9 x - 100=$
$= $\frac{ - x ^2 + 2 \cdot 45 \cdot x - 45 ^2 + 45 ^2 - 1000}{10}$ = $\frac{ - ( x - 45 ) ^2 + 1025}{10}$ меньше или = 102,5$ $P_1=12 x - ( 0,1 x ^2 + 3 x + 100 ) = - 0,1 x ^2 + 9 x - 100=$
$= $\frac{ - x ^2 + 2 \cdot 45 \cdot x - 45 ^2 + 45 ^2 - 1000}{10}$ =$
$= $\frac{ - ( x - 45 ) ^2 + 1025}{10}$ меньше или = 102,5$ $P_1=12 x - ( 0,1 x ^2 + 3 x + 100 ) =$
$= - 0,1 x ^2 + 9 x - 100=$
$= $\frac{ - x ^2 + 2 \cdot 45 \cdot x - 45 ^2 + 45 ^2 - 1000}{10}$ =$
$= $\frac{ - ( x - 45 ) ^2 + 1025}{10}$ меньше или = 102,5$
Из полученной оценки следует, что максимальная прибыль в первый год равна 102,5 млн руб. Она достигается при выпуске 45 тыс. единиц продукции. Максимальная прибыль в первый год меньше потраченных на строительство 300 млн руб., поэтому за первый год строительство не окупится.
Прибыль фирмы (в млн руб.) за второй год составит
$P_2=13 x - ( 0,1 x ^2 + 3 x + 100 ) = - 0,1 x ^2 + 10 x - 100=$
$= $\frac{ - x ^2 + 2 \cdot 50 \cdot x - 50 ^2 + 50 ^2 - 1000}{10}$ = $\frac{ - ( x - 50 ) ^2 + 1500}{10}$ меньше или = 150$ $P_2=13 x - ( 0,1 x ^2 + 3 x + 100 ) = - 0,1 x ^2 + 10 x - 100=$
$= $\frac{ - x ^2 + 2 \cdot 50 \cdot x - 50 ^2 + 50 ^2 - 1000}{10}$ =$
$= $\frac{ - ( x - 50 ) ^2 + 1500}{10}$ меньше или = 150$ $P_2=13 x - ( 0,1 x ^2 + 3 x + 100 ) =$
$= - 0,1 x ^2 + 10 x - 100=$
$= $\frac{ - x ^2 + 2 \cdot 50 \cdot x - 50 ^2 + 50 ^2 - 1000}{10}$ =$
$= $\frac{ - ( x - 50 ) ^2 + 1500}{10}$ меньше или = 150$
Таким образом, максимальная прибыль во второй год равна 150 млн руб. Она достигается при выпуске 50 тыс. единиц продукции. Суммарная максимальная прибыль в первые два года равна
$102,5 + 150=252,5$ млн руб.,
что меньше 300 млн руб., значит, за два года строительство не окупится.
Прибыль фирмы (в млн рублей) за третий год составит
$P_3=14 x - ( 0,1 x ^2 + 3 x + 100 ) = - 0,1 x ^2 + 11 x - 100=$
$= $\frac{ - x ^2 + 2 \cdot 55 \cdot x - 55 ^2 + 55 ^2 - 1000}{10}$ = $\frac{ - ( x - 55 ) ^2 + 2025}{10}$ меньше или = 202,5$ $P_3=14 x - ( 0,1 x ^2 + 3 x + 100 ) = - 0,1 x ^2 + 11 x - 100=$
$= $\frac{ - x ^2 + 2 \cdot 55 \cdot x - 55 ^2 + 55 ^2 - 1000}{10}$ =$
$= $\frac{ - ( x - 55 ) ^2 + 2025}{10}$ меньше или = 202,5$ $P_3=14 x - ( 0,1 x ^2 + 3 x + 100 ) =$
$= - 0,1 x ^2 + 11 x - 100=$
$= $\frac{ - x ^2 + 2 \cdot 55 \cdot x - 55 ^2 + 55 ^2 - 1000}{10}$ =$
$= $\frac{ - ( x - 55 ) ^2 + 2025}{10}$ меньше или = 202,5$
Следовательно, максимальная прибыль равна 202,5 млн руб. Она достигается при выпуске 55 тыс. единиц продукции. Суммарная максимальная прибыль в первые три года равна
$102,5 + 150 + 202,5=455$ млн руб.,
что превышает потраченные на строительство 300 млн руб. Тем самым строительство окупится за три года.
Ответ: за три года.
$P_1=12 x - ( 0,1 x ^2 + 3 x + 100 ) = - 0,1 x ^2 + 9 x - 100=$
$= $\frac{ - x ^2 + 2 \cdot 45 \cdot x - 45 ^2 + 45 ^2 - 1000}{10}$ = $\frac{ - ( x - 45 ) ^2 + 1025}{10}$ меньше или = 102,5$ $P_1=12 x - ( 0,1 x ^2 + 3 x + 100 ) = - 0,1 x ^2 + 9 x - 100=$
$= $\frac{ - x ^2 + 2 \cdot 45 \cdot x - 45 ^2 + 45 ^2 - 1000}{10}$ =$
$= $\frac{ - ( x - 45 ) ^2 + 1025}{10}$ меньше или = 102,5$ $P_1=12 x - ( 0,1 x ^2 + 3 x + 100 ) =$
$= - 0,1 x ^2 + 9 x - 100=$
$= $\frac{ - x ^2 + 2 \cdot 45 \cdot x - 45 ^2 + 45 ^2 - 1000}{10}$ =$
$= $\frac{ - ( x - 45 ) ^2 + 1025}{10}$ меньше или = 102,5$
Из полученной оценки следует, что максимальная прибыль в первый год равна 102,5 млн руб. Она достигается при выпуске 45 тыс. единиц продукции. Максимальная прибыль в первый год меньше потраченных на строительство 300 млн руб., поэтому за первый год строительство не окупится.
Прибыль фирмы (в млн руб.) за второй год составит
$P_2=13 x - ( 0,1 x ^2 + 3 x + 100 ) = - 0,1 x ^2 + 10 x - 100=$
$= $\frac{ - x ^2 + 2 \cdot 50 \cdot x - 50 ^2 + 50 ^2 - 1000}{10}$ = $\frac{ - ( x - 50 ) ^2 + 1500}{10}$ меньше или = 150$ $P_2=13 x - ( 0,1 x ^2 + 3 x + 100 ) = - 0,1 x ^2 + 10 x - 100=$
$= $\frac{ - x ^2 + 2 \cdot 50 \cdot x - 50 ^2 + 50 ^2 - 1000}{10}$ =$
$= $\frac{ - ( x - 50 ) ^2 + 1500}{10}$ меньше или = 150$ $P_2=13 x - ( 0,1 x ^2 + 3 x + 100 ) =$
$= - 0,1 x ^2 + 10 x - 100=$
$= $\frac{ - x ^2 + 2 \cdot 50 \cdot x - 50 ^2 + 50 ^2 - 1000}{10}$ =$
$= $\frac{ - ( x - 50 ) ^2 + 1500}{10}$ меньше или = 150$
Таким образом, максимальная прибыль во второй год равна 150 млн руб. Она достигается при выпуске 50 тыс. единиц продукции. Суммарная максимальная прибыль в первые два года равна
$102,5 + 150=252,5$ млн руб.,
что меньше 300 млн руб., значит, за два года строительство не окупится.
Прибыль фирмы (в млн рублей) за третий год составит
$P_3=14 x - ( 0,1 x ^2 + 3 x + 100 ) = - 0,1 x ^2 + 11 x - 100=$
$= $\frac{ - x ^2 + 2 \cdot 55 \cdot x - 55 ^2 + 55 ^2 - 1000}{10}$ = $\frac{ - ( x - 55 ) ^2 + 2025}{10}$ меньше или = 202,5$ $P_3=14 x - ( 0,1 x ^2 + 3 x + 100 ) = - 0,1 x ^2 + 11 x - 100=$
$= $\frac{ - x ^2 + 2 \cdot 55 \cdot x - 55 ^2 + 55 ^2 - 1000}{10}$ =$
$= $\frac{ - ( x - 55 ) ^2 + 2025}{10}$ меньше или = 202,5$ $P_3=14 x - ( 0,1 x ^2 + 3 x + 100 ) =$
$= - 0,1 x ^2 + 11 x - 100=$
$= $\frac{ - x ^2 + 2 \cdot 55 \cdot x - 55 ^2 + 55 ^2 - 1000}{10}$ =$
$= $\frac{ - ( x - 55 ) ^2 + 2025}{10}$ меньше или = 202,5$
Следовательно, максимальная прибыль равна 202,5 млн руб. Она достигается при выпуске 55 тыс. единиц продукции. Суммарная максимальная прибыль в первые три года равна
$102,5 + 150 + 202,5=455$ млн руб.,
что превышает потраченные на строительство 300 млн руб. Тем самым строительство окупится за три года.
Ответ: за три года.
Правильный ответ:
за три года
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 69015 • Задание №15
Решите неравенство $5 в степени x умножить на логарифм по основанию 5 x минус корень из: начало аргумента: 5 к...
ID 69478 • Задание №16
Валерий открыл вклад в банке, по которому банк выплачивает 8% годовых. По договору вклада он может снимать со ...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 2
Верно построена математическая модель | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 2
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 2
Верно построена математическая модель | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 2
🔗 Другие задания линии №16 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69435
В банк был положен вклад под 10% годовых. Через год, после начисления процентов, вкладчик снял ...
ID 69436
Миша и Маша положили в один и тот же банк одинаковые суммы под 10% годовых. Через год сразу пос...
ID 69437
Близнецы Саша и Паша положили в банк по 50 000 рублей на три года под 10% годовых. Однако через...
ID 69438
Василий кладет в банк 1 000 000 рублей под 10% годовых на 4 года (проценты начисляются один раз...
ID 69439
Саша положил некоторую сумму в банк на 4 года под 10% годовых. Одновременно с ним Паша такую же...