[рис.] а)  Пусть прямые OD и NE  — перпендикуляры, опущенные на прямую AC из точек O и N. Применим теорему Менелая к треугольнику ABN и секущей CM: $\frac{AM}{MB} \cdot $\frac{BC}{CN}$ \cdot $\frac{NO}{OA}$ =1$ то есть $1 \cdot $\frac{3}{2}$ \cdot $\frac{NO}{OA}$ =1$ значит, $3NO=2OA$ Отсюда $AO:AN=3:5$ Тогда и $OD:NE=3:5$ Осталось заметить, что

$NE: BH=NC:BC=2:3$

Значит, $OD:BH= $\frac{3}{5}$ \cdot $\frac{2}{3}$ =2:5$ Что и требовалось доказать.
б)  Пусть высота $BH=x$ Тогда

$x \cdot \ctg30 в степени ( \circ ) + x \cdot \ctg 45 в степени ( \circ ) =8 = сильно x= \frac{8}{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + 1} =4 ( $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента - 1 )$

Значит, искомое расстояние =

$OD= $\frac{2}{5}$ \cdot 4 ( $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента - 1 ) = \frac{8 ( $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента - 1 )}{5}$

Ответ: б) $\frac{8 ( $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента - 1 )}{5}$