а)  Пусть $S_ABC=S$ Из рисунка видно, что площадь шестиугольника $A_1B_2C_1A_2B_1C_2$ равна сумме площадей $S_A_1B_1C_1 + S_B_1C_1A_2 + S_A_1C_1B_2 + S_A_1B_1C_2$ Поскольку треугольник A1B1C1 подобен треугольнику ABC c коэффициентом подобия $k= \frac{1}{2}$ его площадь $S_A_1B_1C_1= \frac{S}{4}$ Пусть K  — точка пересечения медианы AA1 и средней линии B1C1. Медиана и средняя линия делят друг друга пополам, поскольку они являются диагоналями параллелограмма AB1A1C1. Откуда $AK= $\frac{1}{2}$ AA_1, AK$   — медиана треугольника AB1C1. Заметим, что

$AA_2:AK= $\frac{1}{2}$ AM: $\frac{1}{2}$ AA_1=AM:AA_1=2:3$

то есть точка A2 делит медиану AK треугольника AB1C1 в отношении 2 : 1. Значит, это точка пересечения медиан треугольника AB1C1. Площадь треугольника B1C1A2 равна трети площади треугольника AB1C1, то есть равна $\frac{1}{3} \cdot $\frac{1}{4}$ S= \frac{S}{12}$ Аналогично площади треугольников A1C1B2 и A1B1C2 равны $\frac{S}{12}$ Откуда площадь шестиугольника A1B2C1A2B1C2 равна $\frac{S}{4} + 3 \cdot $\frac{S}{12}$ = \frac{S}{2}$
[рис.]
б)   [рис.] Пусть длины сторон BC, AC, AB треугольника ABC равны a, b, c. Докажем, что квадрат медианы AA1 равен $\frac{1}{4} ( 2b ^2 + 2c ^2 - a ^2 )$ Для доказательства на продолжении отрезка AA1 за точку A1 отложим отрезок A1P  =  AA1. Получим параллелограмм ACPB со сторонами AC  =  PB  =  b и AB  =  CP  =  c и диагоналями BC  =  a и AP  =  2AA1. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон:

$2b ^2 + 2c ^2 =a ^2 + 4AA_1 ^2 = сильно AA_1 ^2 = $\frac{1}{4}$ ( 2b ^2 + 2c ^2 - a ^2 )$

Аналогично $BB_1 ^2 = $\frac{1}{4}$ ( 2a ^2 + 2c ^2 - b ^2 )$ а $CC_1 ^2 = $\frac{1}{4}$ ( 2a ^2 + 2b ^2 - c ^2 )$ Пусть L  — середина отрезка AB1. Поскольку A2  — точка пересечения медиан треугольника AB1C1, она лежит на отрезке C1L и делит его в отношении 2 : 1, считая от точки C1. Значит, $C_1A_2= $\frac{2}{3}$ C_1L$ Но треугольники AB1C1 и ABC подобны с коэффициентом 1/2, поэтому $C_1L= $\frac{1}{2}$ BB_1$ и $C_1A_2= $\frac{1}{3}$ BB_1$ Повторяя те же рассуждения для треугольника A1B1C получаем, что отрезок A1C2 равен $\frac{1}{3} BB_1$ Применяя аналогичные рассуждения, получим что стороны шестиугольника втрое меньше медиан треугольника ABC: $B_2C_1=B_1C_2= $\frac{1}{3}$ AA_1$ $A_2B_1=A_1B_2= $\frac{1}{3}$ CC_1$ Следовательно, сумма квадратов сторон шестиугольника равна:

$2 ( B_1C_2 ^2 + A_1C_2 ^2 + A_1B_2 ^2 ) = $\frac{2}{9}$ ( AA_1 ^2 + BB_1 ^2 + CC_1 ^2 ) =$
$= $\frac{2}{9}$ \cdot $\frac{1}{4}$ \cdot ( 2b ^2 + 2c ^2 - a ^2 + 2a ^2 + 2c ^2 - b ^2 + 2a ^2 + 2b ^2 - c ^2 ) =$
$= $\frac{1}{18}$ \cdot 3 ( a ^2 + b ^2 + c ^2 ) = $\frac{1}{6}$ ( a ^2 + b ^2 + c ^2 )$

Подставляя числовые значения получаем, что сумма квадратов шести сторон треугольника равна $\frac{43}{2}$

Ответ: 21,5.