В остроугольном треугольнике ABC провели высоту CC1 и медиану AA1. Оказалось, что точки A, A1, C, C1 лежат на одной окружности.
а) Докажите, что треугольник ABC = бедренный.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если AA1 : CC1 = 5 : 4 и A1C1 = 4.
а) Докажите, что треугольник ABC = бедренный.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если AA1 : CC1 = 5 : 4 и A1C1 = 4.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] а) Угол AC1C равен 90°, следовательно, угол AA1C равен 90°, поскольку AC — диаметр окружности. Тогда AA1 — высота и медиана треугольника ABC. Таким образом, отрезки AB и AC равны, что и требовалось доказать.
б) Треугольники ABA1 и CBC1 подобны по двум углам, следовательно, $\frac{AB}{CB} = $\frac{AA_1}{CC_1}$ = \frac{5}{4}$ C1A1 — медиана в прямоугольном треугольнике BC1C, поэтому
$C_1A_1= $\frac{1}{2}$ BC = сильно BC=8 \Rightarrow AB=10$
Вычислим площадь треугольника ABC:
$S_ABC= $\frac{AA_1 \cdot BC}{2}$ = \frac{$\sqrt{аргумента: 10 ^2 - 4 ^2}$ аргумента \cdot 8}{2} = 8 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента$
Ответ: $8 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента$
б) Треугольники ABA1 и CBC1 подобны по двум углам, следовательно, $\frac{AB}{CB} = $\frac{AA_1}{CC_1}$ = \frac{5}{4}$ C1A1 — медиана в прямоугольном треугольнике BC1C, поэтому
$C_1A_1= $\frac{1}{2}$ BC = сильно BC=8 \Rightarrow AB=10$
Вычислим площадь треугольника ABC:
$S_ABC= $\frac{AA_1 \cdot BC}{2}$ = \frac{$\sqrt{аргумента: 10 ^2 - 4 ^2}$ аргумента \cdot 8}{2} = 8 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента$
Ответ: $8 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента$
Правильный ответ:
$8 корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 67858 • Задание №13
Решите систему неравенств $система выражений новая строка корень из: начало аргумента: 16 минус 3x плюс 2 лева...
ID 69236 • Задание №15
В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке О. Площади треугольников AOB и COD рав...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №17 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69977
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно...
ID 69978
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M ...
ID 69979
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опуст...
ID 69980
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треуго...
ID 69981
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB...