В треугольнике ABC медианы AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке O. Точки K, L, M принадлежат отрезкам AA1, BB1 и CC1 соответственно, причем AK = KA1, BL : LB1 = 1 : 4, CM : MC1 = 1 : 3. Площадь треугольника ABC равна 200.
а) Докажите, что OL : BB1 = 7 : 15.
б) Найдите площадь треугольника KLM.
а) Докажите, что OL : BB1 = 7 : 15.
б) Найдите площадь треугольника KLM.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] а) По теореме о точке пересечения медианы $BO:OB_1=2:1$ следовательно, $BO= $\frac{2}{3}$ BB_1$ $BL= $\frac{1}{5}$ BB_1$ Отсюда
$LO= ( $\frac{2}{3}$ - $\frac{1}{5}$ ) BB_1= $\frac{7}{15}$ BB_1$
б) Медианы разбивают треугольник на шесть = великих треугольников, следовательно, $S_ABO=S_BOC=S_AOC$ Тогда:
$\frac{S_OLK}{S_AOB} = $\frac{OL \cdot OK}{OB \cdot OA}$ = $\frac{\tfrac7}{15}$ \cdot ( \tfrac23 - \tfrac12 ) \tfrac23 \cdot \tfrac23= \frac{7}{40}$
$\frac{S_OKM}{S_AOC} = $\frac{OK \cdot OM}{OA \cdot OC}$ = $\frac{\tfrac16 \cdot \tfrac5}{12}$ \tfrac23 \cdot \tfrac23= \frac{5}{32}$
$\frac{S_OLM}{S_BOC} = $\frac{OL \cdot OM}{OB \cdot OC}$ = $\frac{\tfrac7}{15}$ \cdot ( \tfrac23 - \tfrac14 ) \tfrac23 \cdot \tfrac23= \frac{7}{16}$
Значит,
$S_KLM=S_ABC \cdot ( $\frac{1}{3}$ \cdot $\frac{7}{40}$ + $\frac{1}{3}$ \cdot $\frac{5}{32}$ + $\frac{1}{3}$ \cdot $\frac{7}{16}$ ) = $\frac{200}{3}$ \cdot $\frac{28 + 25 + 70}{160}$ =51,25$ $S_KLM=S_ABC \cdot ( $\frac{1}{3}$ \cdot $\frac{7}{40}$ + $\frac{1}{3}$ \cdot $\frac{5}{32}$ + $\frac{1}{3}$ \cdot $\frac{7}{16}$ ) =$
$= $\frac{200}{3}$ \cdot $\frac{28 + 25 + 70}{160}$ =51,25$
Ответ: б) 51,25.
$LO= ( $\frac{2}{3}$ - $\frac{1}{5}$ ) BB_1= $\frac{7}{15}$ BB_1$
б) Медианы разбивают треугольник на шесть = великих треугольников, следовательно, $S_ABO=S_BOC=S_AOC$ Тогда:
$\frac{S_OLK}{S_AOB} = $\frac{OL \cdot OK}{OB \cdot OA}$ = $\frac{\tfrac7}{15}$ \cdot ( \tfrac23 - \tfrac12 ) \tfrac23 \cdot \tfrac23= \frac{7}{40}$
$\frac{S_OKM}{S_AOC} = $\frac{OK \cdot OM}{OA \cdot OC}$ = $\frac{\tfrac16 \cdot \tfrac5}{12}$ \tfrac23 \cdot \tfrac23= \frac{5}{32}$
$\frac{S_OLM}{S_BOC} = $\frac{OL \cdot OM}{OB \cdot OC}$ = $\frac{\tfrac7}{15}$ \cdot ( \tfrac23 - \tfrac14 ) \tfrac23 \cdot \tfrac23= \frac{7}{16}$
Значит,
$S_KLM=S_ABC \cdot ( $\frac{1}{3}$ \cdot $\frac{7}{40}$ + $\frac{1}{3}$ \cdot $\frac{5}{32}$ + $\frac{1}{3}$ \cdot $\frac{7}{16}$ ) = $\frac{200}{3}$ \cdot $\frac{28 + 25 + 70}{160}$ =51,25$ $S_KLM=S_ABC \cdot ( $\frac{1}{3}$ \cdot $\frac{7}{40}$ + $\frac{1}{3}$ \cdot $\frac{5}{32}$ + $\frac{1}{3}$ \cdot $\frac{7}{16}$ ) =$
$= $\frac{200}{3}$ \cdot $\frac{28 + 25 + 70}{160}$ =51,25$
Ответ: б) 51,25.
Правильный ответ:
б) 51,25
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 65020 • Задание №3
Вася загружает на свой компьютер из Интернета файл размером 30 Мб за 28 секунд. Петя загружает файл размером 2...
ID 70602 • Задание №17
При каких значениях a уравнение
$корень из: начало аргумента: 4x минус x в квадрате плюс 32 конец аргумента л...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №17 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69977
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно...
ID 69978
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M ...
ID 69979
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опуст...
ID 69980
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треуго...
ID 69981
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB...