Биссектриса BB1 и высота CC1 треугольника ABC пересекают описанную окружность в точках М и N. Известно, что $\angle BCA = 85 ^{\circ}$ и $\angle ABC = 40 ^{\circ}$
а) Докажите, что CN = BМ.
б) Пусть MN и ВС пересекаются в точке D. Найти площадь треугольника BDN, если его высота ВН равна 7.
а) Докажите, что CN = BМ.
б) Пусть MN и ВС пересекаются в точке D. Найти площадь треугольника BDN, если его высота ВН равна 7.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] а) Заметим, что $\angle BAC = 180 ^{\circ} - \angle BCA - \angle ABC = 55 ^{\circ}$ $\angle ACN = 90 ^{\circ} - \angle BAC = 35 ^{\circ}$ Тогда $\smile BC = 110 ^{\circ}$ $\smile CM = \smile MA= 40 ^{\circ}$ $\smile AN = 70 ^{\circ}$ следовательно, $\smile BM = 150 ^{\circ} = \smile CN$ Равные дуги стягивают равные хорды, следовательно, BM = CN.
б) Заметим, что углы BND и NBD опираются на дуги равные $150 ^{\circ}$ следовательно, $\angle BND =\angle NBD = 75 ^{\circ}$ таким образом, треугольник BDN = бедренный, $\angle BDN = 30 ^{\circ}$ Тогда, как гипотенуза в прямоугольном треугольнике BHD с углом 30 ^{\circ} BD = ND = 2BH = 14. $S_BDN= $\frac{1}{2}$ \cdot BH \cdot ND= 49$
б) Заметим, что углы BND и NBD опираются на дуги равные $150 ^{\circ}$ следовательно, $\angle BND =\angle NBD = 75 ^{\circ}$ таким образом, треугольник BDN = бедренный, $\angle BDN = 30 ^{\circ}$ Тогда, как гипотенуза в прямоугольном треугольнике BHD с углом 30 ^{\circ} BD = ND = 2BH = 14. $S_BDN= $\frac{1}{2}$ \cdot BH \cdot ND= 49$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 70501 • Задание №17
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
$x в квадрате минус 5x плюс 10= дробь: числитель: a п...
ID 64373 • Задание №1
[рис.] Основания равнобедренной трапеции равны 43 и 73. Косинус острого угла трапеции равен $дробь: числитель...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а),
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а),
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №17 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69977
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно...
ID 69978
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M ...
ID 69979
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опуст...
ID 69980
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треуго...
ID 69981
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB...