В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высота BH и медиана AM, причем точки A, B, Н и М лежат на одной окружности.
а) Докажите, что треугольник ABC = бедренный.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если $AM: BH = 4 : 3$ и MH = 3.
а) Докажите, что треугольник ABC = бедренный.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если $AM: BH = 4 : 3$ и MH = 3.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] а) Если четырехугольник ABMH вписан в окружность, то сторона AB — ее диаметр (поскольку $\angle AHB=90 ^{\circ} )$ значит, $\angle AMB=90 ^{\circ}$ откуда следует, что отрезок AM — медиана и высота, следовательно, $AB=AC$
б) Отрезок MH — медиана прямоугольного треугольника BHC, поэтому $MH= \frac{BC}{2}$ то есть BC = 6. Пусть $AM=4x$ и $BH=3x$ тогда
$\frac{4x \cdot 6}{2} = \frac{3x \cdot AC}{2}$
откуда $AC=BA=8$ Следовательно, $AM= $\sqrt{аргумента: 8 ^2 - 3 ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 55}$ аргумента$ откуда для площади треугольника ABC получаем:
$S_ABC= $\frac{1}{2}$ \cdot 6 \cdot $\sqrt{аргумента: 55}$ аргумента =3 $\sqrt{аргумента: 55}$ аргумента$
Ответ: б) $3 $\sqrt{аргумента: 55}$ аргумента$
б) Отрезок MH — медиана прямоугольного треугольника BHC, поэтому $MH= \frac{BC}{2}$ то есть BC = 6. Пусть $AM=4x$ и $BH=3x$ тогда
$\frac{4x \cdot 6}{2} = \frac{3x \cdot AC}{2}$
откуда $AC=BA=8$ Следовательно, $AM= $\sqrt{аргумента: 8 ^2 - 3 ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 55}$ аргумента$ откуда для площади треугольника ABC получаем:
$S_ABC= $\frac{1}{2}$ \cdot 6 \cdot $\sqrt{аргумента: 55}$ аргумента =3 $\sqrt{аргумента: 55}$ аргумента$
Ответ: б) $3 $\sqrt{аргумента: 55}$ аргумента$
Правильный ответ:
б) $3 корень из: начало аргумента: 55 конец аргумента$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 71702 • Задание №19
Последовательность $a_1, a_2, ..., a_6$ состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть Mk — среднее ариф...
ID 70421 • Задание №17
Точки E и K — соответственно середины сторон CD и AD квадрата ABCD. Прямая BE пересекается с прямой CK в точк...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а),
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а),
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №17 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69977
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно...
ID 69978
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M ...
ID 69979
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опуст...
ID 69980
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треуго...
ID 69981
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB...