В остроугольном треугольнике ABC на высоте AD взята точка M, а на высоте BP точка N так, что углы BMC и ANC — прямые. Известно, что $\angle M C N=30 в степени ( \circ )$ и $M N=4 + 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$
а) Докажите, что $\frac{M D ^2}{B D \cdot C D} =1$
б) Найдите длину биссектрисы CL треугольника MCN.
а) Докажите, что $\frac{M D ^2}{B D \cdot C D} =1$
б) Найдите длину биссектрисы CL треугольника MCN.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] а) Заметим, что $\angle BMD=90 ^{\circ} - \angle CMD=\angle MCD$ Поэтому треугольники BMD и MCD подобны по двум углам, значит, $MD:CD=BD:MD$ откуда $MD ^2 =BD \cdot CD$
б) Из подобия треугольников CNP и CAN получаем, что $CN:CP=CA:CN$ Отсюда следует, что $CN ^2 =CP \cdot CA$ Из подобия треугольников CMD и CBM получаем, что $CM:CD=CB:CM$ а потому $CM ^2 =CD \cdot CB$ Из подобия треугольников CPB и CDA получаем, что $CP:CD=CB:CA$ откуда следует, что $CP \cdot CA=CB \cdot CD$ Таким образом, $CN ^2 =CM ^2$ или $CN=CM$ Следовательно, отрезок CL — биссектриса и высота треугольника CMN.
Пусть $CN=x$ тогда по теореме \cos ов получаем
$2x ^2 - 2x ^2 \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} = ( 4 + 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) ^2 = сильно x ^2 ( 2 - $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) =28 + 16 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента = сильно$
$ = сильно x ^2 = ( 2 + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) \cdot ( 28 + 16 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) = сильно x ^2 =60 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + 104$ $2x ^2 - 2x ^2 \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} = ( 4 + 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) ^2 = сильно$
$ = сильно x ^2 ( 2 - $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) =28 + 16 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента = сильно$
$ = сильно x ^2 = ( 2 + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) \cdot ( 28 + 16 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) = сильно x ^2 =60 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + 104$
По теореме Пифагора, $CL ^2 =CN ^2 - NL ^2$ то есть
$CL ^2 = 60 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + 104 - ( 2 + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) ^2 =97 + 56 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента =49 + 56 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + 48= ( 7 + 4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) ^2$ $CL ^2 = 60 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + 104 - ( 2 + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) ^2 =$
$=97 + 56 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента =49 + 56 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + 48= ( 7 + 4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) ^2$
тогда $CL = 7 + 4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$
Ответ: б) $7 + 4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$
Примечание.
Заметим, что формула $\frac{M D ^2}{B D \cdot C D} =1$ представляет собой известное соотношение: высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу.
б) Из подобия треугольников CNP и CAN получаем, что $CN:CP=CA:CN$ Отсюда следует, что $CN ^2 =CP \cdot CA$ Из подобия треугольников CMD и CBM получаем, что $CM:CD=CB:CM$ а потому $CM ^2 =CD \cdot CB$ Из подобия треугольников CPB и CDA получаем, что $CP:CD=CB:CA$ откуда следует, что $CP \cdot CA=CB \cdot CD$ Таким образом, $CN ^2 =CM ^2$ или $CN=CM$ Следовательно, отрезок CL — биссектриса и высота треугольника CMN.
Пусть $CN=x$ тогда по теореме \cos ов получаем
$2x ^2 - 2x ^2 \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} = ( 4 + 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) ^2 = сильно x ^2 ( 2 - $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) =28 + 16 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента = сильно$
$ = сильно x ^2 = ( 2 + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) \cdot ( 28 + 16 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) = сильно x ^2 =60 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + 104$ $2x ^2 - 2x ^2 \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} = ( 4 + 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) ^2 = сильно$
$ = сильно x ^2 ( 2 - $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) =28 + 16 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента = сильно$
$ = сильно x ^2 = ( 2 + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) \cdot ( 28 + 16 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) = сильно x ^2 =60 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + 104$
По теореме Пифагора, $CL ^2 =CN ^2 - NL ^2$ то есть
$CL ^2 = 60 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + 104 - ( 2 + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) ^2 =97 + 56 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента =49 + 56 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + 48= ( 7 + 4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) ^2$ $CL ^2 = 60 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + 104 - ( 2 + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) ^2 =$
$=97 + 56 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента =49 + 56 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + 48= ( 7 + 4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) ^2$
тогда $CL = 7 + 4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$
Ответ: б) $7 + 4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$
Примечание.
Заметим, что формула $\frac{M D ^2}{B D \cdot C D} =1$ представляет собой известное соотношение: высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу.
Правильный ответ:
б) $7 плюс 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 70591 • Задание №17
Для каждого значения параметра а найдите наибольшее значение функции
$f левая круглая скобка x правая круглая ...
ID 64293 • Задание №1
[рис.] В треугольнике ABC AC = BC, угол C равен 52°. Найдите внешний угол CBD. Ответ дайте в градусах....
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №17 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69977
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно...
ID 69978
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M ...
ID 69979
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опуст...
ID 69980
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треуго...
ID 69981
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB...