а)  Проведем через точку B прямую, параллельную AC, тогда прямая AA1 пересекает эту прямую в точке N и прямая CC1 пересекает эту прямую в точке  M. Из подобия треугольников AC1C и BC1M получим, что $AC_1 : C_1B=AC : MB$ Из подобия треугольников A1BN и A1CA получим, что $BA_1 : A_1C=BN : AC$ Из подобия треугольников B1PC и BPM получим, что $B_1C:MB = B_1P : PB$ Аналогично $AB_1 : BN = B_1P:BB_1$ [рис.] Значит,

$\frac{B_1C}{AB_1} = \frac{MB}{BN}$

Тогда

$\frac{BA_1}{A_1C} \cdot $\frac{CB_1}{B_1A}$ \cdot $\frac{AC_1}{C_1 B}$ = $\frac{BN}{AC}$ \cdot $\frac{MB}{BN}$ \cdot $\frac{AC}{MB}$ =1$

Что и требовалось доказать.
б)  Из пункта а) следует, что $\frac{BA_1}{A_1C} \cdot $\frac{2}{3}$ \cdot $\frac{2}{1}$ =1$ откуда $\frac{BA_1}{A_1C} = \frac{3}{4}$ Далее, по теореме Менелая для треугольника ABA1 и секущей PC получим:

$\frac{AP}{PA_1} \cdot $\frac{A_1C}{CB}$ \cdot $\frac{BC_1}{C_1A}$ = 1$

откуда $\frac{AP}{PA_1} \cdot $\frac{4}{7}$ \cdot $\frac{1}{2}$ = 1$ то есть $\frac{AP}{PA_1} = \frac{7}{2}$

Ответ: б) 7 : 2.

Примечание 1.
Сформулированное в пункте  а) утверждение носит название теоремы Чевы. В школьных учебниках можно найти и другие доказательства.

Примечание 2.
Читатель, знающий и любящий теорему Ван-⁠Обеля, может применить ее для решения пункта б). Из нее сразу же следует ответ:

$\frac{A P}{P A_1} = $\frac{A B_1}{B_1C}$ + $\frac{AC_1}{C_1B}$ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{2}{1}$ = \frac{7}{2}$

Примечание 3.
О теоремах Чевы и Ван-⁠Обеля можно посмотреть короткое видео на нашем канале.
Простые и более сложные задачи можно найти в нашем задачнике.