[рис.] а)  Пусть K, L, M и N  — середины сторон AB, BC, CD и AD четырёхугольника ABCD соответственно. Тогда KL и MN  — средние линии треугольников ABC и ADC. Значит, $KL= $\frac{1}{2}$ AC=MN$ и KL || AC || MN, поэтому KLMN  — параллелограмм. Его диагонали KM и LN делят друг друга пополам, что и требовалось доказать.
б)  В треугольнике KLM имеем:

$KL ^2 =KM ^2 + ML ^2 - 2KM \cdot ML \cdot \cos 60 ^{\circ}=81$

Значит, KL  =  9. Тогда $KM ^2 =KL ^2 + LM ^2$ поэтому треугольник KLM прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине  L. Четырёхугольник  KLMN  — прямоугольник, поэтому

$S_KLMN=KL \cdot LM=9 \cdot 3 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента =27 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$

Отрезок KL является средней линией треугольника ABC, поэтому $S_KBL= $\frac{1}{4}$ S_ABC$ Аналогично $S_MDN= $\frac{1}{4}$ S_ADC$ Тогда имеем:

$S_KBL + S_MDN= $\frac{1}{4}$ S_ABC + $\frac{1}{4}$ S_ADC= $\frac{1}{4}$ ( S_ABC + S_ADC ) = $\frac{1}{4}$ S$

где S  — искомая площадь четырёхугольника ABCD. Аналогично $S_CML + S_AKN= $\frac{1}{4}$ S$ Поэтому

$S_KLMN=S - $\frac{1}{4}$ S - $\frac{1}{4}$ S= $\frac{1}{2}$ S$

Следовательно,

$S=2S_KLMN=2 \cdot 27 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента =54 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$

Ответ: $54 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$

Приведем решение пункта б) wladius w.
В треугольнике KLM имеем: $KL ^2 =KM ^2 + ML ^2 - 2KM \cdot ML \cdot \cos 60 ^{\circ}=81$
Значит, KL  =  9. Тогда $KM ^2 =KL ^2 + LM ^2$ поэтому треугольник KLM прямоугольный, то есть $KL \bot LM$  KL || AC, LM || BD, тогда $AC \bot BD$ Следовательно,

$S_ABCD= $\frac{1}{2}$ AC \cdot BD = $\frac{1}{2}$ \cdot 2KL \cdot 2LM = $\frac{1}{2}$ \cdot 18 \cdot 6 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента = 54 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$

Примечание.
Заметим, что четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон произвольного четырехугольника, является параллелограммом, площадь которого равна половине площади исходного четырехугольника (см. параллелограмм Вариньона). При решении данной задачи фактически доказана теорема Вариньона и следствие из нее.