[рис.] а)  Пусть

$S_AOB = S_1$
$S_BOC = S_2$
$S_COD = S_3$
$S_AOD = S_4$

По условию $S_1 + S_3 = S_2 + S_4$ Кроме того,

$S_1 \cdot S_3 = $\frac{1}{2}$ \cdot AO \cdot BO \cdot \sin \angle AOB \cdot $\frac{1}{2}$ \cdot CO \cdot DO \cdot \sin \angle COD=$
$= $\frac{1}{2}$ \cdot BO \cdot CO \cdot \sin \angle BOC \cdot $\frac{1}{2}$ \cdot DO \cdot AO \cdot \sin \angle AOD = S_2 \cdot S_4$ $S_1 \cdot S_3 =$
$= $\frac{1}{2}$ \cdot AO \cdot BO \cdot \sin \angle AOB \cdot $\frac{1}{2}$ \cdot CO \cdot DO \cdot \sin \angle COD=$
$= $\frac{1}{2}$ \cdot BO \cdot CO \cdot \sin \angle BOC \cdot $\frac{1}{2}$ \cdot DO \cdot AO \cdot \sin \angle AOD =$
$= S_2 \cdot S_4$

Пусть далее $S_1 + S_3 = p$ и $S_1 \cdot S_3 = q$ значит, S1 и S3  — корни уравнения $x ^2 - px + q = 0$ Корнями этого же уравнения являются S2 и S4, откуда следует, что $S_1 = S_2$ или $S_1 = S_4$ Из условия $S_1 = $\frac{1}{2}$ \cdot S_2$ получаем $S_1 = S_4$ следовательно, отрезок AO является медианой треугольника ABD.
б)  Из пункта а) следует, что отрезок AO  — медиана треугольника ABD, отрезок CO  — медиана треугольника BСD, откуда

$AM : MO = CN : NO = 2 : 1$

Заметим, что $\frac{S_AOB}{S_BOC} = $\frac{1}{2}$ = \frac{AO}{OC}$ тогда

$\frac{AM}{NC} = $\frac{2}{3}$ AO : $\frac{2}{3}$ CO = $\frac{AO}{CO}$ = \frac{1}{2}$

откуда получаем, что $AM = 2$ $AO = $\frac{3}{2}$ AM$ и $CO = $\frac{3}{2}$ CN$ поэтому

$AC = $\frac{3}{2}$ \cdot 2 + $\frac{3}{2}$ \cdot 4 = 9$

откуда находим: $KL = $\frac{1}{2}$ AC = \frac{9}{2}$

Ответ: б) $\frac{9}{2}$