Точка E — середина основания AD трапеции ABCD, а точка M — середина стороны AB. Отрезки CE и DM пересекаются в точке О.
а) Докажите, что площади треугольника COD и четырехугольника AMOE равны.
б) Найдите отношение площади четырехугольника AMOE к площади трапеции ABCD, если $B C = 2$ и $A D = 5$
а) Докажите, что площади треугольника COD и четырехугольника AMOE равны.
б) Найдите отношение площади четырехугольника AMOE к площади трапеции ABCD, если $B C = 2$ и $A D = 5$
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] а) Пусть высота трапеции равна h. Тогда высота треугольника AMD, проведенная к AD, равна $\frac{h}{2}$ Площадь треугольника AMD равна
$S_AMD= $\frac{1}{2}$ \cdot $\frac{h}{2}$ \cdot AD= $\frac{1}{2}$ \cdot h \cdot $\frac{AD}{2}$ =S_CED$
а потому
$S_AMOE=S_AMD - S_OED=S_CED - S_OED=S_COD$
б) Пусть P — точка пересечения лучей DM и CB. Тогда треугольники PBM и DAN равны, откуда $PB=5$ Треугольники PCO и DEO подобны, причем
$\frac{PO}{OD} = $\frac{PC}{ED}$ =7: $\frac{5}{2}$ = \frac{14}{5}$
откуда
$\frac{MD + MO}{MD - MO} = \frac{14}{5}$
$\frac{MD}{MO} = \frac{19}{9}$
$\frac{OD}{MD} = \frac{10}{19}$
Найдем отношение площадей треугольников DOE и DAM:
$\frac{S_DOE}{S_DAM} = $\frac{OD \cdot DE}{MD \cdot DA}$ = $\frac{10 \cdot 1}{19 \cdot 2}$ = \frac{5}{19}$
Таким образом,
$S_AMOE= $\frac{14}{19}$ S_AMD= $\frac{14}{19}$ \cdot $\frac{1}{2}$ \cdot $\frac{h}{2}$ \cdot 5= $\frac{14}{19}$ \cdot $\frac{1}{2}$ \cdot $\frac{5}{7}$ \cdot $\frac{7 \cdot h}{2}$ = $\frac{5}{19}$ \cdot $\frac{7h}{2}$ = $\frac{5}{19}$ S_ABCD$ $S_AMOE= $\frac{14}{19}$ S_AMD= $\frac{14}{19}$ \cdot $\frac{1}{2}$ \cdot $\frac{h}{2}$ \cdot 5=$
$= $\frac{14}{19}$ \cdot $\frac{1}{2}$ \cdot $\frac{5}{7}$ \cdot $\frac{7 \cdot h}{2}$ = $\frac{5}{19}$ \cdot $\frac{7h}{2}$ = $\frac{5}{19}$ S_ABCD$
Отношение площади четырехугольника AMOE к площади трапеции ABCD = $\frac{5}{19}$
Ответ: $\frac{5}{19}$
$S_AMD= $\frac{1}{2}$ \cdot $\frac{h}{2}$ \cdot AD= $\frac{1}{2}$ \cdot h \cdot $\frac{AD}{2}$ =S_CED$
а потому
$S_AMOE=S_AMD - S_OED=S_CED - S_OED=S_COD$
б) Пусть P — точка пересечения лучей DM и CB. Тогда треугольники PBM и DAN равны, откуда $PB=5$ Треугольники PCO и DEO подобны, причем
$\frac{PO}{OD} = $\frac{PC}{ED}$ =7: $\frac{5}{2}$ = \frac{14}{5}$
откуда
$\frac{MD + MO}{MD - MO} = \frac{14}{5}$
$\frac{MD}{MO} = \frac{19}{9}$
$\frac{OD}{MD} = \frac{10}{19}$
Найдем отношение площадей треугольников DOE и DAM:
$\frac{S_DOE}{S_DAM} = $\frac{OD \cdot DE}{MD \cdot DA}$ = $\frac{10 \cdot 1}{19 \cdot 2}$ = \frac{5}{19}$
Таким образом,
$S_AMOE= $\frac{14}{19}$ S_AMD= $\frac{14}{19}$ \cdot $\frac{1}{2}$ \cdot $\frac{h}{2}$ \cdot 5= $\frac{14}{19}$ \cdot $\frac{1}{2}$ \cdot $\frac{5}{7}$ \cdot $\frac{7 \cdot h}{2}$ = $\frac{5}{19}$ \cdot $\frac{7h}{2}$ = $\frac{5}{19}$ S_ABCD$ $S_AMOE= $\frac{14}{19}$ S_AMD= $\frac{14}{19}$ \cdot $\frac{1}{2}$ \cdot $\frac{h}{2}$ \cdot 5=$
$= $\frac{14}{19}$ \cdot $\frac{1}{2}$ \cdot $\frac{5}{7}$ \cdot $\frac{7 \cdot h}{2}$ = $\frac{5}{19}$ \cdot $\frac{7h}{2}$ = $\frac{5}{19}$ S_ABCD$
Отношение площади четырехугольника AMOE к площади трапеции ABCD = $\frac{5}{19}$
Ответ: $\frac{5}{19}$
Правильный ответ:
$дробь: числитель: 5, знаменатель: 19 конец дроби$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 64836 • Задание №3
[рис.] В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания ABC пересекаются в точке O. Площадь треугольни...
ID 67588 • Задание №13
а) Решите уравнение $дробь: числитель: 26 косинус в квадрате x минус 23 косинус x плюс 5, знаменатель: 13 син...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а),
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а),
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №17 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69977
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно...
ID 69978
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M ...
ID 69979
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опуст...
ID 69980
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треуго...
ID 69981
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB...