[рис.] а)  Пусть прямая BM пересекает основание AD в точке E, тогда треугольники BCM и EDM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, BM  =  ME как соответственные элементы равных фигур. В треугольнике ABE отрезок AM  — медиана и биссектриса, а значит, и высота, то есть отрезок AM перпендикулярен прямой BE. По условию отрезок AM перпендикулярен также прямой DN, поэтому прямая DN параллельна прямой BE по признаку параллельных прямых.
б)  Из равенств AN  =  AD и AB  =  AE получаем, что BN  =  DE  =  BC. Пусть BC  =  x, тогда AB  =  6x, AD  =  5x. По теореме Пифагора найдем высоту BH трапеции:

$BH = \sqrt{аргумента: ( 6x ) ^2 - ( $\frac{5x - x}{2}$ ) ^2} аргумента = 4 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента x$

Выразим площадь трапеции: $S_ABCD = 12 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$ откуда

$\frac{x + 5x}{2} \cdot 4 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента x = 12 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента = сильно 12 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента x ^2 = 12 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента = сильно x ^2 = 1 = сильно x = 1$

а потому

$MN = MD = $\frac{1}{2}$ \cdot CD = $\frac{1}{2}$ \cdot 6x = 3$

Ответ: б)  3.