[рис.] а)  По свойству угла между касательной и хордой получаем, что угол  CBM равен углу BAM и угол OMB равен углу BAM. Кроме того, угол CBM равен углу BMA как накрест лежащие, а угол ABM равен углу CBM, поскольку отрезок BM  — биссектриса. Отсюда

$\angle BAM = \angle ABM = \angle AMB = \angle CBM = \angle OMB = 60 ^{\circ}$

Отрезок OM  — средняя линия треугольника ABD, поскольку прямая OM параллельна прямой AB и отрезок BO равен отрезку OD, значит, отрезки AM, BM и MD равны. Откуда угол ABD равен 90°.
б)  Угол ODM равен $180 ^{\circ} - 90 ^{\circ} - 60 ^{\circ} = 30 ^{\circ}$ Следовательно, $MD = 2OM = 4$ По теореме Менелая для треугольника BMD и секущей OK получим:

$\frac{OD}{OB} \cdot $\frac{BK}{KM}$ \cdot $\frac{MA}{AD}$ = 1 = сильно 1 \cdot $\frac{BK}{KM}$ \cdot $\frac{1}{2}$ = 1 = сильно $\frac{BK}{KM}$ = 2$

Следовательно, $\frac{BK}{BM} = \frac{2}{3}$
Площадь треугольника BKO равна $S_BKO = $\frac{1}{2}$ \cdot $\frac{2}{3}$ \cdot S_BMD$ Найдем площадь четырехугольника KODM:

$S_KODM = $\frac{2}{3}$ \cdot S_BMD = $\frac{2}{3}$ \cdot $\frac{1}{2}$ \cdot 4 \cdot 4 \cdot \sin 120 ^{\circ} = \frac{8 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{3}$

Ответ: б)   $\frac{8 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{3}$