[рис.] а)  Пусть диагонали ромба пересекаются в точке O. Так как $AO = OC$ и $AM = NC$ то $MO = ON$ Значит, $AM : MO = 2 : 1$ а поскольку отрезок AO является медианой треугольника ABD, то точка M является точкой пересечения медиан этого треугольника. Следовательно, отрезок BP также является медианой и $AP = PD$ Аналогично в треугольнике CBD получаем равенство $CQ = QD$ Медиана делит треугольник на два = великих, тогда верны равенства:

$S_ABP = S_BPD = $\frac{1}{2}$ S_ABD = $\frac{1}{4}$ S_ABCD = $\frac{1}{2}$ S_BCD = S_BDQ$

Таким образом,

$S_BPDQ = S_BPD + S_BDQ = $\frac{1}{2}$ S_ABCD = S_ADC$

б)  Пусть $AD = 2x$ Из условия следует, что $AM = MN = \frac{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{3}$ Произведения длин отрезков секущих, проведённых из одной точки к окружности, равны и не зависят от выбора секущей, поэтому $AM \cdot AN = AP \cdot AD$ Отсюда

$\frac{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{3} \cdot \frac{4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{3} = x \cdot 2x = сильно 2x ^2 = $\frac{8}{3}$ = сильно x ^2 = $\frac{4}{3}$ = сильно x = \frac{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{3}$

В прямоугольном треугольнике AOD по теореме Пифагора:

$OD = $\sqrt{аргумента: AD ^2 - AO ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 4x ^2 - 3}$ аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{16}{3}$ - 3} аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{7}{3}$} аргумента = \frac{$\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента}{3}$

Тогда $BD = 2 OD = \frac{2 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента}{3}$

Ответ: б)  $\frac{2 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента}{3}$