В выпуклом четырёхугольнике KLMN диагонали KМ и LN перпендикулярны соответственно сторонам MN и KL, а длина стороны KN равна $4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$ На стороне KN расположена точка А так, что $\angle LAK = \angle MAN$ Известно, что $\angle MKN - \angle KNL = 15 ^{\circ}$ $LA : AM = 1 : $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$
а) Докажите, что $\angle MAL = 90 ^{\circ}$
б) Найдите площадь четырёхугольника KLMN.
а) Докажите, что $\angle MAL = 90 ^{\circ}$
б) Найдите площадь четырёхугольника KLMN.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] а) Пусть прямые KL и NM пересекаются в точке B. Тогда отрезки KM и NL — высоты треугольника KBN. Построим третью высоту BH. Четырехугольник LBNH вписан в окружность с диаметром BN, поэтому $\angle LHN + \angle LBN = 180 ^{\circ}$ Значит, равны их смежные углы: $\angle LHK = \angle LBN$ Аналогично $\angle MHN = \angle LBN$ Следовательно, $\angle LHK = \angle MHN$ то есть точка H совпадает с точкой A.
Треугольники KLH и KNB подобны, причем
$k = $\frac{LH}{NB}$ = $\frac{KH}{KB}$ = \cos \angle BKN$
$LH = BN \cdot \cos \angle BKN$
Аналогично $HM = BK \cdot \cos \angle BNK$ Из условия получаем:
$\frac{1}{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} = $\frac{LH}{HM}$ = $\frac{BN \cdot \cos \angle BKN}{BK \cdot \cos \angle BNK}$ = $\frac{\sin \angle BKN}{\sin \angle BNK}$ \cdot $\frac{\cos \angle BKN}{\cos \angle BNK}$ = \frac{\sin 2 \angle BKN}{\sin 2 \angle BNK}$
Но из условия известно, что
$\angle BKN = \angle BKM + \angle MKN = 15 ^{\circ} + \angle BKM + \angle LNK = 15 ^{\circ} + \angle BNL + \angle LNK = 15 ^{\circ} + \angle BNK$ $\angle BKN = \angle BKM + \angle MKN = 15 ^{\circ} + \angle BKM + \angle LNK =$
$= 15 ^{\circ} + \angle BNL + \angle LNK = 15 ^{\circ} + \angle BNK$ $\angle BKN = \angle BKM + \angle MKN =$
$= 15 ^{\circ} + \angle BKM + \angle LNK =$
$= 15 ^{\circ} + \angle BNL + \angle LNK = 15 ^{\circ} + \angle BNK$
Значит,
$\frac{\sin ( 2 \angle BNK + 30 ^{\circ} )}{\sin 2 \angle BNK} = \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} = сильно $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cdot ( \sin 2 \angle BNK \cdot \cos 30 ^{\circ} + \sin 30 ^{\circ} \cos 2 \angle BNK ) = \sin 2 \angle BNK = сильно$
$ = сильно $\frac{3}{2}$ \sin 2 \angle BNK + \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \cos 2 \angle BNK = \sin 2 \angle BNK = сильно \sin 2 \angle BNK + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cos 2 \angle BNK = 0 \underset \cos 2 \angle BNK не = q 0 \mathop = сильно$
$\mathop = сильно \text{tg} 2 \angle BNK = - $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента = сильно 2 \angle BNK = 120 ^{\circ} = сильно \angle BNK = 60 ^{\circ}$ $\frac{\sin ( 2 \angle BNK + 30 ^{\circ} )}{\sin 2 \angle BNK} = \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} = сильно $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cdot ( \sin 2 \angle BNK \cdot \cos 30 ^{\circ} + \sin 30 ^{\circ} \cos 2 \angle BNK ) = \sin 2 \angle BNK = сильно$
$ = сильно $\frac{3}{2}$ \sin 2 \angle BNK + \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \cos 2 \angle BNK = \sin 2 \angle BNK = сильно$
$ = сильно \sin 2 \angle BNK + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cos 2 \angle BNK = 0 \underset \cos 2 \angle BNK не = q 0 \mathop = сильно$
$\mathop = сильно \text{tg} 2 \angle BNK = - $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента = сильно 2 \angle BNK = 120 ^{\circ} = сильно \angle BNK = 60 ^{\circ}$ $\frac{\sin ( 2 \angle BNK + 30 ^{\circ} )}{\sin 2 \angle BNK} = \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} = сильно$
$ = сильно $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cdot ( \sin 2 \angle BNK \cdot \cos 30 ^{\circ} + \sin 30 ^{\circ} \cos 2 \angle BNK ) = \sin 2 \angle BNK = сильно$
$ = сильно $\frac{3}{2}$ \sin 2 \angle BNK + \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \cos 2 \angle BNK = \sin 2 \angle BNK = сильно$
$ = сильно \sin 2 \angle BNK + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cos 2 \angle BNK = 0 \underset \cos 2 \angle BNK не = q 0 \mathop = сильно$
$\mathop = сильно \text{tg} 2 \angle BNK = - $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента = сильно 2 \angle BNK = 120 ^{\circ} = сильно \angle BNK = 60 ^{\circ}$ $\frac{\sin ( 2 \angle BNK + 30 ^{\circ} )}{\sin 2 \angle BNK} = \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} = сильно$
$ = сильно $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cdot ( \sin 2 \angle BNK \cdot \cos 30 ^{\circ} + \sin 30 ^{\circ} \cos 2 \angle BNK ) = \sin 2 \angle BNK = сильно$
$ = сильно $\frac{3}{2}$ \sin 2 \angle BNK + \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \cos 2 \angle BNK = \sin 2 \angle BNK = сильно$
$ = сильно \sin 2 \angle BNK + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cos 2 \angle BNK = 0 \underset \cos 2 \angle BNK не = q 0 \mathop = сильно$
$\mathop = сильно \text{tg} 2 \angle BNK = - $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента = сильно$
$ = сильно 2 \angle BNK = 120 ^{\circ} = сильно \angle BNK = 60 ^{\circ}$
Отсюда следует, что $\angle BKN = 75 ^{\circ}$ $\angle KBN = 45 ^{\circ}$ и
$\angle LHM = \angle LAM = 180 ^{\circ} - 2 \angle KBN = 90 ^{\circ}$
б) По теореме \sin ов для треугольника KBN находим:
$\frac{KN}{\sin 45 ^{\circ}} = \frac{KB}{\sin 60 ^{\circ}} = сильно \frac{4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{\dfrac $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента 2} = \frac{KB}{\dfrac $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента 2} = сильно KB = \frac{8 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} = сильно KB = 6 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$
Следовательно, площадь треугольника KBN равна
$S_KBN = $\frac{1}{2}$ \cdot BK \cdot KN \cdot \sin 75 ^{\circ} = $\frac{1}{2}$ \cdot 6 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cdot 4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{4} = 18 + 6 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$
Для треугольников BLM и BNK получаем:
$\frac{S_BLM}{S_BNK} = ( $\frac{BM}{BK}$ ) ^2 = ( \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} ) ^2 = \frac{1}{2}$
то есть площадь четырехугольника KLMN вдвое меньше площади треугольника BKN. Таким образом,
$S_KLMN = $\frac{1}{2}$ S_BKN = $\frac{1}{2}$ \cdot ( 18 + 6 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) = 9 + 3 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$
Ответ: б) $9 + 3 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$
Примечание к пункту а).
Если бы точка A, например, лежала на отрезке KH, то верны были бы неравенства $\angle LAK больше \angle LHK$ $MAN меньше \angle MHN$ то есть $\angle LAK не = q \angle MAN$ что противоречит условию.
Примечание о \sin е.
В ходе решения было опущено вычисление значения $\sin 75 ^{\circ}$ Приведем его:
$\sin 75 ^{\circ} = \sin ( 45 ^{\circ} + 30 ^{\circ} ) = \sin 45 ^{\circ} \cos 30 ^{\circ} + \sin 30 ^{\circ} \cos 45 ^{\circ} =$
$= \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} + $\frac{1}{2}$ \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} = \frac{$\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{4} + \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{4} = \frac{$\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{4}$ $\sin 75 ^{\circ} = \sin ( 45 ^{\circ} + 30 ^{\circ} ) =$
$= \sin 45 ^{\circ} \cos 30 ^{\circ} + \sin 30 ^{\circ} \cos 45 ^{\circ} = \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} + $\frac{1}{2}$ \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} =$
$= \frac{$\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{4} + \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{4} = \frac{$\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{4}$ $\sin 75 ^{\circ} = \sin ( 45 ^{\circ} + 30 ^{\circ} ) =$
$= \sin 45 ^{\circ} \cos 30 ^{\circ} + \sin 30 ^{\circ} \cos 45 ^{\circ} =$
$= \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} + $\frac{1}{2}$ \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} = \frac{$\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{4} + \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{4} = \frac{$\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{4}$
Треугольники KLH и KNB подобны, причем
$k = $\frac{LH}{NB}$ = $\frac{KH}{KB}$ = \cos \angle BKN$
$LH = BN \cdot \cos \angle BKN$
Аналогично $HM = BK \cdot \cos \angle BNK$ Из условия получаем:
$\frac{1}{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} = $\frac{LH}{HM}$ = $\frac{BN \cdot \cos \angle BKN}{BK \cdot \cos \angle BNK}$ = $\frac{\sin \angle BKN}{\sin \angle BNK}$ \cdot $\frac{\cos \angle BKN}{\cos \angle BNK}$ = \frac{\sin 2 \angle BKN}{\sin 2 \angle BNK}$
Но из условия известно, что
$\angle BKN = \angle BKM + \angle MKN = 15 ^{\circ} + \angle BKM + \angle LNK = 15 ^{\circ} + \angle BNL + \angle LNK = 15 ^{\circ} + \angle BNK$ $\angle BKN = \angle BKM + \angle MKN = 15 ^{\circ} + \angle BKM + \angle LNK =$
$= 15 ^{\circ} + \angle BNL + \angle LNK = 15 ^{\circ} + \angle BNK$ $\angle BKN = \angle BKM + \angle MKN =$
$= 15 ^{\circ} + \angle BKM + \angle LNK =$
$= 15 ^{\circ} + \angle BNL + \angle LNK = 15 ^{\circ} + \angle BNK$
Значит,
$\frac{\sin ( 2 \angle BNK + 30 ^{\circ} )}{\sin 2 \angle BNK} = \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} = сильно $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cdot ( \sin 2 \angle BNK \cdot \cos 30 ^{\circ} + \sin 30 ^{\circ} \cos 2 \angle BNK ) = \sin 2 \angle BNK = сильно$
$ = сильно $\frac{3}{2}$ \sin 2 \angle BNK + \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \cos 2 \angle BNK = \sin 2 \angle BNK = сильно \sin 2 \angle BNK + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cos 2 \angle BNK = 0 \underset \cos 2 \angle BNK не = q 0 \mathop = сильно$
$\mathop = сильно \text{tg} 2 \angle BNK = - $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента = сильно 2 \angle BNK = 120 ^{\circ} = сильно \angle BNK = 60 ^{\circ}$ $\frac{\sin ( 2 \angle BNK + 30 ^{\circ} )}{\sin 2 \angle BNK} = \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} = сильно $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cdot ( \sin 2 \angle BNK \cdot \cos 30 ^{\circ} + \sin 30 ^{\circ} \cos 2 \angle BNK ) = \sin 2 \angle BNK = сильно$
$ = сильно $\frac{3}{2}$ \sin 2 \angle BNK + \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \cos 2 \angle BNK = \sin 2 \angle BNK = сильно$
$ = сильно \sin 2 \angle BNK + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cos 2 \angle BNK = 0 \underset \cos 2 \angle BNK не = q 0 \mathop = сильно$
$\mathop = сильно \text{tg} 2 \angle BNK = - $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента = сильно 2 \angle BNK = 120 ^{\circ} = сильно \angle BNK = 60 ^{\circ}$ $\frac{\sin ( 2 \angle BNK + 30 ^{\circ} )}{\sin 2 \angle BNK} = \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} = сильно$
$ = сильно $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cdot ( \sin 2 \angle BNK \cdot \cos 30 ^{\circ} + \sin 30 ^{\circ} \cos 2 \angle BNK ) = \sin 2 \angle BNK = сильно$
$ = сильно $\frac{3}{2}$ \sin 2 \angle BNK + \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \cos 2 \angle BNK = \sin 2 \angle BNK = сильно$
$ = сильно \sin 2 \angle BNK + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cos 2 \angle BNK = 0 \underset \cos 2 \angle BNK не = q 0 \mathop = сильно$
$\mathop = сильно \text{tg} 2 \angle BNK = - $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента = сильно 2 \angle BNK = 120 ^{\circ} = сильно \angle BNK = 60 ^{\circ}$ $\frac{\sin ( 2 \angle BNK + 30 ^{\circ} )}{\sin 2 \angle BNK} = \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} = сильно$
$ = сильно $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cdot ( \sin 2 \angle BNK \cdot \cos 30 ^{\circ} + \sin 30 ^{\circ} \cos 2 \angle BNK ) = \sin 2 \angle BNK = сильно$
$ = сильно $\frac{3}{2}$ \sin 2 \angle BNK + \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \cos 2 \angle BNK = \sin 2 \angle BNK = сильно$
$ = сильно \sin 2 \angle BNK + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cos 2 \angle BNK = 0 \underset \cos 2 \angle BNK не = q 0 \mathop = сильно$
$\mathop = сильно \text{tg} 2 \angle BNK = - $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента = сильно$
$ = сильно 2 \angle BNK = 120 ^{\circ} = сильно \angle BNK = 60 ^{\circ}$
Отсюда следует, что $\angle BKN = 75 ^{\circ}$ $\angle KBN = 45 ^{\circ}$ и
$\angle LHM = \angle LAM = 180 ^{\circ} - 2 \angle KBN = 90 ^{\circ}$
б) По теореме \sin ов для треугольника KBN находим:
$\frac{KN}{\sin 45 ^{\circ}} = \frac{KB}{\sin 60 ^{\circ}} = сильно \frac{4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{\dfrac $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента 2} = \frac{KB}{\dfrac $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента 2} = сильно KB = \frac{8 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} = сильно KB = 6 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$
Следовательно, площадь треугольника KBN равна
$S_KBN = $\frac{1}{2}$ \cdot BK \cdot KN \cdot \sin 75 ^{\circ} = $\frac{1}{2}$ \cdot 6 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cdot 4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{4} = 18 + 6 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$
Для треугольников BLM и BNK получаем:
$\frac{S_BLM}{S_BNK} = ( $\frac{BM}{BK}$ ) ^2 = ( \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} ) ^2 = \frac{1}{2}$
то есть площадь четырехугольника KLMN вдвое меньше площади треугольника BKN. Таким образом,
$S_KLMN = $\frac{1}{2}$ S_BKN = $\frac{1}{2}$ \cdot ( 18 + 6 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) = 9 + 3 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$
Ответ: б) $9 + 3 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$
Примечание к пункту а).
Если бы точка A, например, лежала на отрезке KH, то верны были бы неравенства $\angle LAK больше \angle LHK$ $MAN меньше \angle MHN$ то есть $\angle LAK не = q \angle MAN$ что противоречит условию.
Примечание о \sin е.
В ходе решения было опущено вычисление значения $\sin 75 ^{\circ}$ Приведем его:
$\sin 75 ^{\circ} = \sin ( 45 ^{\circ} + 30 ^{\circ} ) = \sin 45 ^{\circ} \cos 30 ^{\circ} + \sin 30 ^{\circ} \cos 45 ^{\circ} =$
$= \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} + $\frac{1}{2}$ \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} = \frac{$\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{4} + \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{4} = \frac{$\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{4}$ $\sin 75 ^{\circ} = \sin ( 45 ^{\circ} + 30 ^{\circ} ) =$
$= \sin 45 ^{\circ} \cos 30 ^{\circ} + \sin 30 ^{\circ} \cos 45 ^{\circ} = \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} + $\frac{1}{2}$ \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} =$
$= \frac{$\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{4} + \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{4} = \frac{$\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{4}$ $\sin 75 ^{\circ} = \sin ( 45 ^{\circ} + 30 ^{\circ} ) =$
$= \sin 45 ^{\circ} \cos 30 ^{\circ} + \sin 30 ^{\circ} \cos 45 ^{\circ} =$
$= \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} + $\frac{1}{2}$ \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} = \frac{$\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{4} + \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{4} = \frac{$\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{4}$
Правильный ответ:
б) $9 плюс 3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 71411 • Задание №19
Рассмотрим частное трёхзначного числа, в записи которого нет нулей, и произведения его цифр.
а) Приведите при...
ID 68227 • Задание №14
Плоскость α проходит через середину ребра AD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 перпендикулярно прямо...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а),
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а),
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №17 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69977
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно...
ID 69978
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M ...
ID 69979
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опуст...
ID 69980
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треуго...
ID 69981
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB...