[рис.] а)  У треугольников ABD и ACD общее основание и равные высоты, проведенные к нему, поэтому эти треугольники равны. Выразим площади:

$S_ABO = S_ABD - S_AOD = S_ACD - S_AOD = S_DCO$

Из условия высоты треугольников ABO и DCO, проведенные из точки O, равны. Значит, $AB = CD$
б)  Из доказанного выше следует, что $\angle BAD = \angle CDA = 45 ^{\circ}$ Тогда:

$AK = KD = \frac{AD}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} = 20 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$
$BK = 20 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента - 8 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента = 12 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$
$BC = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cdot BK = 24$
$\frac{BC}{AD} = $\frac{24}{40}$ = \frac{3}{5}$

то есть треугольники BOC и AOD подобны с коэффициентом $k = \frac{3}{5}$ Следовательно, высота треугольника BOC, проведенная из точки O, равна  $\frac{3}{8} h$ где h  — высота трапеции. Но $h = AB \cdot \sin 45 ^{\circ} = 8$ Высота треугольника BKC, проведенная к стороне BC, равна $BK \cdot \sin 45 ^{\circ} = 12$ Таким образом,

$KO = 12 + $\frac{3}{8}$ h = 12 + 3 = 15$

Ответ: б)  15.