На основании BC трапеции ABCD взята точка E, лежащая на одной окружности с точками A, C и D. Другая окружность, проходящая через точки A, B и C, касается прямой CD, AB = 12, BE : EC = 4 : 5.
а) Докажите, что треугольник ACD подобен треугольнику ABE.
б) Найдите BC.
а) Докажите, что треугольник ACD подобен треугольнику ABE.
б) Найдите BC.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] а) По свойству угла между касательной и хордой $\angle ACD=\angle ABC$ поэтому четырехугольник AECD — вписанная трапеция, следовательно, углы ADC и EAD равны, также $\angle AEB=\angle EAD$ из параллельности. Таким образом, $\angle ABE=\angle ACD$ и $\angle AEB=\angle ADC$ следовательно, треугольники ACD и ABE подобны по двум углам. Что требовалось доказать.
б) Из подобия треугольников ABE и ACD (п. а) следует, что $\angle BAE=\angle CAD=\angle ECA$ а значит, BA — касательная к окружности AECD. Тогда
$BA ^2 =BE \cdot BC \Rightarrow 36 x ^2 =12 ^2 \Rightarrow BE=8$
откуда находим $BC=18$
Ответ: б) 18.
б) Из подобия треугольников ABE и ACD (п. а) следует, что $\angle BAE=\angle CAD=\angle ECA$ а значит, BA — касательная к окружности AECD. Тогда
$BA ^2 =BE \cdot BC \Rightarrow 36 x ^2 =12 ^2 \Rightarrow BE=8$
откуда находим $BC=18$
Ответ: б) 18.
Правильный ответ:
б) 18
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 67574 • Задание №13
а) Решите уравнение $дробь: числитель: 2 синус в квадрате x минус синус x, знаменатель: 2 косинус x минус кор...
ID 70599 • Задание №17
При каких значениях параметра a, уравнение $g левая круглая скобка синус x правая круглая скобка = a$
$g лева...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б.
ИЛИ
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а.
ИЛИ
При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
ИЛИ
Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б.
ИЛИ
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а.
ИЛИ
При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
ИЛИ
Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №17 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69977
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно...
ID 69978
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M ...
ID 69979
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опуст...
ID 69980
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треуго...
ID 69981
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB...