На диаметре АВ окружности ω выбрана точка С. На отрезках АС и ВС как на диаметрах построены окружности ω1 и ω2 соответственно. Прямая l пересекает окружность ω в точках А и D, окружность ω1 — в точках А и Е, а окружность ω2 — в точках М и N.
а) Докажите, что MD = NE.
б) Найдите радиус круга, касающегося окружностей ω, ω1 и ω2, если известно, что АС = 10, ВС = 6.
а) Докажите, что MD = NE.
б) Найдите радиус круга, касающегося окружностей ω, ω1 и ω2, если известно, что АС = 10, ВС = 6.
💡 Пошаговый разбор и решение:
а) Заметим, что $\angle AEC=\angle ADB=90 ^{\circ}$ (опираются на диаметры), следовательно, четырехугольник CEDB — прямоугольная трапеция (см. левый рис.). Пусть точка O2 — центр ω2, точка P — середина MN, тогда отрезок O2P является высотой = бедренного треугольника MO2N. Отрезки O2P и MN взаимно перпендикулярны и отрезки O2P и CE параллельны, значит, точка P — середина отрезка ED. Следовательно, $EM=ND$ что требовалось доказать.
[рис.]
[рис.]
б) Пусть искомая окружность касается ω в точке O3 и имеет радиус r (см. правый рис.). Используя теорему \cos ов для треугольников O1O2O3 и OO2O3, найдем в каждом из них \cos их общего угла O2 и приравняем полученные выражения:
$\frac{8 ^2 + ( r + 3 ) ^2 - ( r + 5 ) ^2}{2 \cdot 8 \cdot ( r + 3 )} = $\frac{5 ^2 + ( r + 3 ) ^2 - ( 8 - r ) ^2}{2 \cdot 5 \cdot ( r + 3 )}$ = сильно$
$ = сильно 5 ( 8 ^2 + ( r + 3 ) ^2 - ( r + 5 ) ^2 ) = 8 ( 5 ^2 + ( r + 3 ) ^2 - ( 8 - r ) ^2 ) = сильно 240 - 20 r = 176 r - 240 = сильно r = \frac{120}{49}$ $\frac{8 ^2 + ( r + 3 ) ^2 - ( r + 5 ) ^2}{2 \cdot 8 \cdot ( r + 3 )} = $\frac{5 ^2 + ( r + 3 ) ^2 - ( 8 - r ) ^2}{2 \cdot 5 \cdot ( r + 3 )}$ = сильно$
$ = сильно 5 ( 8 ^2 + ( r + 3 ) ^2 - ( r + 5 ) ^2 ) = 8 ( 5 ^2 + ( r + 3 ) ^2 - ( 8 - r ) ^2 ) = сильно$
$ = сильно 240 - 20 r = 176 r - 240 = сильно r = \frac{120}{49}$
Ответ: $\frac{120}{49}$
Примечание.
В пункте б) можно было иначе применить теорему \cos ов: \cos смежных углов O1OO3 и O2OO3 противоположны, поэтому
$\cos \angle O_1OO_3= $\frac{3 ^2 + ( 8 - r ) ^2 - ( 5 + r ) ^2}{2 \cdot 3 \cdot 8}$ = - \cos \angle O_3OO_2= - \frac{( 8 - r ) ^2 + 5 ^2 - ( 3 + r ) ^2}{2 \cdot ( 8 - r ) \cdot 5}$ $\cos \angle O_1OO_3= $\frac{3 ^2 + ( 8 - r ) ^2 - ( 5 + r ) ^2}{2 \cdot 3 \cdot 8}$ =$
$= - \cos \angle O_3OO_2= - \frac{( 8 - r ) ^2 + 5 ^2 - ( 3 + r ) ^2}{2 \cdot ( 8 - r ) \cdot 5}$
тогда
$5 ( 3 ^2 + ( 8 - r ) ^2 - ( 5 + r ) ^2 ) = - 3 ( ( 8 - r ) ^2 + 5 ^2 - ( 3 + x ) ^2 ) =0 = сильно$
$ = сильно 5 ( 48 - 26r ) = - 3 ( 80 - 22r ) = сильно 5 ( 24 - 13r ) = 3 ( 11r - 40 ) = сильно r = \frac{120}{49}$ $5 ( 3 ^2 + ( 8 - r ) ^2 - ( 5 + r ) ^2 ) = - 3 ( ( 8 - r ) ^2 + 5 ^2 - ( 3 + x ) ^2 ) =0 = сильно$
$ = сильно 5 ( 48 - 26r ) = - 3 ( 80 - 22r ) = сильно$
$ = сильно 5 ( 24 - 13r ) = 3 ( 11r - 40 ) = сильно r = \frac{120}{49}$
[рис.]
[рис.]
б) Пусть искомая окружность касается ω в точке O3 и имеет радиус r (см. правый рис.). Используя теорему \cos ов для треугольников O1O2O3 и OO2O3, найдем в каждом из них \cos их общего угла O2 и приравняем полученные выражения:
$\frac{8 ^2 + ( r + 3 ) ^2 - ( r + 5 ) ^2}{2 \cdot 8 \cdot ( r + 3 )} = $\frac{5 ^2 + ( r + 3 ) ^2 - ( 8 - r ) ^2}{2 \cdot 5 \cdot ( r + 3 )}$ = сильно$
$ = сильно 5 ( 8 ^2 + ( r + 3 ) ^2 - ( r + 5 ) ^2 ) = 8 ( 5 ^2 + ( r + 3 ) ^2 - ( 8 - r ) ^2 ) = сильно 240 - 20 r = 176 r - 240 = сильно r = \frac{120}{49}$ $\frac{8 ^2 + ( r + 3 ) ^2 - ( r + 5 ) ^2}{2 \cdot 8 \cdot ( r + 3 )} = $\frac{5 ^2 + ( r + 3 ) ^2 - ( 8 - r ) ^2}{2 \cdot 5 \cdot ( r + 3 )}$ = сильно$
$ = сильно 5 ( 8 ^2 + ( r + 3 ) ^2 - ( r + 5 ) ^2 ) = 8 ( 5 ^2 + ( r + 3 ) ^2 - ( 8 - r ) ^2 ) = сильно$
$ = сильно 240 - 20 r = 176 r - 240 = сильно r = \frac{120}{49}$
Ответ: $\frac{120}{49}$
Примечание.
В пункте б) можно было иначе применить теорему \cos ов: \cos смежных углов O1OO3 и O2OO3 противоположны, поэтому
$\cos \angle O_1OO_3= $\frac{3 ^2 + ( 8 - r ) ^2 - ( 5 + r ) ^2}{2 \cdot 3 \cdot 8}$ = - \cos \angle O_3OO_2= - \frac{( 8 - r ) ^2 + 5 ^2 - ( 3 + r ) ^2}{2 \cdot ( 8 - r ) \cdot 5}$ $\cos \angle O_1OO_3= $\frac{3 ^2 + ( 8 - r ) ^2 - ( 5 + r ) ^2}{2 \cdot 3 \cdot 8}$ =$
$= - \cos \angle O_3OO_2= - \frac{( 8 - r ) ^2 + 5 ^2 - ( 3 + r ) ^2}{2 \cdot ( 8 - r ) \cdot 5}$
тогда
$5 ( 3 ^2 + ( 8 - r ) ^2 - ( 5 + r ) ^2 ) = - 3 ( ( 8 - r ) ^2 + 5 ^2 - ( 3 + x ) ^2 ) =0 = сильно$
$ = сильно 5 ( 48 - 26r ) = - 3 ( 80 - 22r ) = сильно 5 ( 24 - 13r ) = 3 ( 11r - 40 ) = сильно r = \frac{120}{49}$ $5 ( 3 ^2 + ( 8 - r ) ^2 - ( 5 + r ) ^2 ) = - 3 ( ( 8 - r ) ^2 + 5 ^2 - ( 3 + x ) ^2 ) =0 = сильно$
$ = сильно 5 ( 48 - 26r ) = - 3 ( 80 - 22r ) = сильно$
$ = сильно 5 ( 24 - 13r ) = 3 ( 11r - 40 ) = сильно r = \frac{120}{49}$
Правильный ответ:
$дробь: числитель: 120, знаменатель: 49 конец дроби$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 70077 • Задание №17
Дана трапеция с диагоналями равными 8 и 15. Сумма оснований равна 17.
а) Докажите, что диагонали перпендикуля...
ID 68996 • Задание №15
Решите неравенство: $5 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круг...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б.
ИЛИ
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а.
ИЛИ
При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
ИЛИ
Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б.
ИЛИ
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а.
ИЛИ
При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
ИЛИ
Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №17 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69977
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно...
ID 69978
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M ...
ID 69979
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опуст...
ID 69980
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треуго...
ID 69981
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB...