[рис.] а)  Пусть R и r  — радиусы окружностей $( R больше r )$ Прямая AB  — диаметр окружности меньшего радиуса. По теореме \cos ов

$AF ^2 =AO ^2 + OF ^2 - 2AO \cdot OF \cdot \cos AOF$ $FB ^2 =OF ^2 + OB ^2 - 2OF \cdot OB \cdot \cos FOB$

откуда

$AF ^2 + FB ^2 =r ^2 + R ^2 - 2Rr \cdot \cos AOF + R ^2 + r ^2 - 2R \cdot r \cdot \cos ( 180 ^{\circ} - AOF ) =2R ^2 + 2r ^2$ $AF ^2 + FB ^2 =$
$=r ^2 + R ^2 - 2Rr \cdot \cos AOF + R ^2 + r ^2 - 2R \cdot r \cdot \cos ( 180 ^{\circ} - AOF ) =2R ^2 + 2r ^2$ $AF ^2 + FB ^2 =$
$=r ^2 + R ^2 - 2Rr \cdot \cos AOF + R ^2 + r ^2 - 2R \cdot r \cdot \cos ( 180 ^{\circ} - AOF ) =$
$=2R ^2 + 2r ^2$

Что требовалось доказать.
б)  Заметим, что $\text{tg} AFB= \frac{1}{4}$ откуда

$\cos AFB= \sqrt{аргумента: \frac{1}{1 ^2 + ( $\frac{1,}{4}$ ) ^2}} аргумента = \frac{4}{$\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента}$

По теореме \cos ов для треугольника AFB получаем:

$\frac{4}{$\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента} = \frac{AF ^2 + FB ^2 - 20 ^2}{2AF \cdot FB}$

Из пункта а) следует, что

$AF ^2 + BF ^2 - 2 \cdot 24 ^2 + 2 \cdot 10 ^2 =2 \cdot 676=1352$

Подставим в предыдущее равенство:

$\frac{4}{$\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента} = $\frac{952}{2AF \cdot FB}$ \Rightarrow AF \cdot FB=119 $\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента$

тогда

$\sin AFB= \sqrt{аргумента: 1 - $\frac{16}{17}$} аргумента = \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента}$

следовательно,

$S_AFB= $\frac{1}{2}$ \cdot 119 $\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента \cdot \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента} =59,5$

Ответ: б) 59,5.