[рис.] а)  Заметим, что угол ANB прямой, так как опирается на диаметр AB первой окружности. Следовательно, отрезок  AN  — высота треугольника  AMM1. При этом $AM=AM_1$ треугольник = бедренный, следовательно, отрезок  AN является также медианой этого треугольника, а значит, $MN=NM_1$ Что требовалось доказать.

б)  Заметим, что дуги CB и BD равны, значит, $\angle BNC=\angle BND$ Пусть DN пересекает вторую окружность в точке C1. Из симметрии заключаем, что $\Delta MNC=\Delta M_1NC_1$ следовательно, $\angle CMN=\angle C_1M_1N=\angle C_1DM$ (последнее равенство вытекает из свойств вписанных углов). Тогда треугольники CMN и MDN подобны, значит, $\frac{CN}{MN} = \frac{MN}{DN}$ то есть $MN ^2 =CN \cdot DN = 81$ откуда MN  =  9.

Ответ: б) 9.