[рис.] а)  Пусть O1H1  — перпендикуляр, проведенный к прямой AC из центра большей окружности, а O2H2  — перпендикуляр, проведенный к AC из центра меньшей окружности. Радиус, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам. Поэтому точка H2  — cередина AM, а точка M совпадает с точкой H1. Тогда

$H_1 H_2 = $\frac{1}{2}$ AC - $\frac{1}{2}$ AM = $\frac{1}{4}$ AC$

Что и требовалось доказать.
б)  Проведем через O2 прямую, параллельную AC. Пусть эта прямая пересекает прямую O1H1 в точке F. Тогда четырехугольник H2O2FH1  — прямоугольник со стороной $H_1 H_2 = $\frac{24}{4}$ = 6$ Находим:

$O_1 O_2 ^2 = O_1 F ^2 + FO_2 ^2 = ( O_1 H_1 + O_2 H_2 ) ^2 + ( H_1 H_2 ) ^2 =$
$= ( $\sqrt{аргумента: 15 ^2 - 12 ^2}$ аргумента + $\sqrt{аргумента: 10 ^2 - 6 ^2}$ аргумента ) ^2 + 6 ^2 = 289 + 36 = 325$ $O_1 O_2 ^2 = O_1 F ^2 + FO_2 ^2 =$
$= ( O_1 H_1 + O_2 H_2 ) ^2 + ( H_1 H_2 ) ^2 =$
$= ( $\sqrt{аргумента: 15 ^2 - 12 ^2}$ аргумента + $\sqrt{аргумента: 10 ^2 - 6 ^2}$ аргумента ) ^2 + 6 ^2 =$
$= 289 + 36 = 325$

Отсюда $O_1 O_2 = 5 $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента$

Ответ: б) $5 $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента$