Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC и AC в точках M и N соответственно, E и F — середины сторон AB и AC соответственно. Прямые MN и EF пересекаются в точке D.
а) Докажите, что треугольник DFN = бедренный.
б) Найдите площадь треугольника BED, если AB = 20 и ∠ABC = 60°.
а) Докажите, что треугольник DFN = бедренный.
б) Найдите площадь треугольника BED, если AB = 20 и ∠ABC = 60°.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] а) Поскольку CM = CN, треугольник MCN = бедренный. Прямые EF и BC параллельны, поэтому треугольник DFN подобен треугольнику MCN, следовательно, треугольник DFN также = бедренный: DF = NF.
б) Обозначим BC = a, AC = b, AB = c. Пусть p — полупериметр треугольника ABC. Предположим, что a > c. Тогда
$BE= $\frac{c}{2}$ ,CF= $\frac{b}{2}$ ,CM=CN=p - c= \frac{a + b - c}{2}$
$FD=FN=CN - CF= $\frac{a + b - c}{2}$ - $\frac{b}{2}$ = \frac{a - c}{2}$
Значит, $ED=EF - FD= $\frac{a}{2}$ - $\frac{a - c}{2}$ = $\frac{c}{2}$ =EB$ то есть треугольник BED
= бедренный.
Аналогично для a ≤ c.
Поскольку прямые ED и BC параллельны, $\angle BED=180 ^{\circ} - \angle ABC=180 ^{\circ} - 60 ^{\circ} =120 ^{\circ}$
Следовательно,
$S_BED= $\frac{1}{2}$ BE \cdot ED \cdot \sin 120 ^{\circ} = $\frac{1}{2}$ \cdot 10 \cdot 10 \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} =25 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$
Ответ: б) $25 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$
б) Обозначим BC = a, AC = b, AB = c. Пусть p — полупериметр треугольника ABC. Предположим, что a > c. Тогда
$BE= $\frac{c}{2}$ ,CF= $\frac{b}{2}$ ,CM=CN=p - c= \frac{a + b - c}{2}$
$FD=FN=CN - CF= $\frac{a + b - c}{2}$ - $\frac{b}{2}$ = \frac{a - c}{2}$
Значит, $ED=EF - FD= $\frac{a}{2}$ - $\frac{a - c}{2}$ = $\frac{c}{2}$ =EB$ то есть треугольник BED
= бедренный.
Аналогично для a ≤ c.
Поскольку прямые ED и BC параллельны, $\angle BED=180 ^{\circ} - \angle ABC=180 ^{\circ} - 60 ^{\circ} =120 ^{\circ}$
Следовательно,
$S_BED= $\frac{1}{2}$ BE \cdot ED \cdot \sin 120 ^{\circ} = $\frac{1}{2}$ \cdot 10 \cdot 10 \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} =25 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$
Ответ: б) $25 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$
Правильный ответ:
б) $25 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 66851 • Задание №10
[рис.]
На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a плюс дробь:...
ID 68720 • Задание №15
Решите неравенство $дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка 2x плюс 2 правая круглая скобка минус 9...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №17 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69977
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно...
ID 69978
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M ...
ID 69979
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опуст...
ID 69980
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треуго...
ID 69981
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB...