[рис.] а)  Проведем через точку A прямую l, параллельную основанию BC. Отрезки AQ и BP равны и составляют равные углы с прямыми l и BC соответственно. Следовательно, точки Q и P = удалены от прямых l и BC соответственно, а потому = удалены и от прямой MN  — прямой, содержащей среднюю линию треугольника ABC.
Пусть прямые PQ и MN пересекаются в точке K. Проведем высоты PH1 и QH2 соответственно на прямую MN, полученные отрезки равны. Углы PKM и QKN равны как вертикальные, поэтому прямоугольные треугольники PKH1 и QKH2 равны по катету и острому углу, откуда $PK = QK$
б)  Пусть прямая PQ пересекает вписанную окружность в точках T и R (см. рис.). Из условия следует, что треугольник ABC  — = бедренный с углом 60°, то есть = сторонний. Следовательно,

$AB = AC = BC = 6$
$AM = MB = CN = AN = 3$
$QN = PM = BP - MB = 1$

Пусть $RT = x$ Произведение длины секущей на длину ее внешней части = квадрату длины отрезка касательной, если секущая и касательная проведены из одной точки. Отсюда получаем:

$PT \cdot PR = PM ^2 = сильно PT \cdot ( PT + x ) = 1$
$QR \cdot QT = QN ^2 = сильно QR \cdot ( QR + x ) = 1$

то есть $QR = PT$ По теореме \cos ов для треугольника APQ находим:

$PQ = $\sqrt{аргумента: AP ^2 + AQ ^2 - 2AP \cdot AQ \cdot \cos \angle PAQ}$ аргумента =$
$= \sqrt{аргумента: 4 + 16 - 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \cos 60 ^{\circ}} аргумента = $\sqrt{аргумента: 20 - 8}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 12}$ аргумента = 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$ $PQ = $\sqrt{аргумента: AP ^2 + AQ ^2 - 2AP \cdot AQ \cdot \cos \angle PAQ}$ аргумента =$
$= \sqrt{аргумента: 4 + 16 - 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \cos 60 ^{\circ}} аргумента =$
$= $\sqrt{аргумента: 20 - 8}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 12}$ аргумента = 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$

а потому

$PT + QR = PQ - RT = сильно 2PT = 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента - x = сильно PT = \frac{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента - x}{2}$

Таким образом,

$\frac{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента - x}{2} \cdot ( \frac{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента - x}{2} + x ) = 1 = сильно \frac{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента - x}{2} \cdot \frac{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + x}{2} = 1 = сильно$
$ = сильно 12 - x ^2 = 4 = сильно x ^2 = 8 = сильно x = 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$ $\frac{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента - x}{2} \cdot ( \frac{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента - x}{2} + x ) = 1 = сильно$
$ = сильно \frac{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента - x}{2} \cdot \frac{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + x}{2} = 1 = сильно$
$ = сильно 12 - x ^2 = 4 = сильно x ^2 = 8 = сильно x = 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$

Ответ: б)  $2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$