[рис.] а)  Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны, отсюда $BK = BE$ $CE = CM$ $AM = AK$ Сумма углов MCE и MHE равна 180°, поэтому четырехугольник MHEC  — вписанный. Следовательно, углы EMH и ECH равны как вписанные, опирающиеся на одну дугу. Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу, которую стягивает эта хорда, а потому $\angle BEK = \angle EMK$ Таким образом, $\angle BEK = \angle ECH$ то есть при пересечении прямых EK и CH секущей BC соответственные углы равны, а такие прямые параллельны.
б)  Длину гипотенузы треугольника ABC найдем по теореме Пифагора:

$AB = $\sqrt{аргумента: AC ^2 + BC ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 225 + 64}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 289}$ аргумента = 17$

откуда $\cos \angle ABC = \frac{8}{17}$ Пусть $\angle BEK = альфа$ тогда из = бедренного треугольника BEK находим $\angle ABC = 180 ^{\circ} - 2 альфа$ Получаем:

$\cos ( 180 ^{\circ} - 2 альфа ) = $\frac{8}{17}$ = сильно - \cos 2 альфа = $\frac{8}{17}$ = сильно$
$ = сильно 1 - 2 \cos ^2 альфа = $\frac{8}{17}$ = сильно \cos ^2 альфа = $\frac{9}{34}$ \underset 0 ^{\circ} меньше альфа меньше 90 ^{\circ} \mathop = сильно \cos альфа = \frac{3 $\sqrt{аргумента: 34}$ аргумента}{34}$ $\cos ( 180 ^{\circ} - 2 альфа ) = $\frac{8}{17}$ = сильно$
$ = сильно - \cos 2 альфа = $\frac{8}{17}$ = сильно 1 - 2 \cos ^2 альфа = $\frac{8}{17}$ = сильно$
$ = сильно \cos ^2 альфа = $\frac{9}{34}$ \underset 0 ^{\circ} меньше альфа меньше 90 ^{\circ} \mathop = сильно \cos альфа = \frac{3 $\sqrt{аргумента: 34}$ аргумента}{34}$

Пусть $BE = x$ $CE = y$ $AM = z$ Из условия получаем:

$$$\begin{cases} x + y = 8 \\[6pt] y + z = 15 \\[6pt] x + z = 17 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} 2x + y + z = 25 \\[6pt] y = 8 - x \\[6pt] z = 17 - x \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} 2x = 10 \\[6pt] y = 8 - x \\[6pt] z = 17 - x \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x = 5 \\[6pt] y = 3 \\[6pt] z = 12. \end{cases}$$$

По теореме \cos ов для треугольника BEK находим:

$\cos \angle ABC = $\frac{BE ^2 + EK ^2 - BK ^2}{2BE \cdot EK}$ = $\frac{EK ^2}{2BE \cdot EK}$ = \frac{EK}{2BE}$

откуда

$EK = 2BE \cdot \cos \angle ABC = 2 \cdot 5 \cdot \frac{3 $\sqrt{аргумента: 34}$ аргумента}{34} = \frac{15 $\sqrt{аргумента: 34}$ аргумента}{17}$

Из прямоугольного = бедренного треугольника ECM находим $EM = CE $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента = 3 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$ Отрезок EM  — диаметр описанной около четырехугольника CEHM окружности, потому что на него опираются два прямых угла. Эта окружность служит описанной и для треугольника CEH. По свойству вписанного четырехугольника получаем $\angle CEH = 180 ^{\circ} - \angle CMH = \angle KMA$ По теореме \sin ов для треугольника CEH находим:

$CH = 3 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \sin \angle CEH = 3 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \sin \angle KMA$

В = бедренном треугольнике AKM $\cos \angle BAC = \cos ( 180 ^{\circ} - 2 \angle KMA ) = \frac{15}{17}$ а потому

$\cos ( 180 ^{\circ} - 2 \angle KMA ) = $\frac{15}{17}$ = сильно - \cos 2 \angle KMA = $\frac{15}{17}$ = сильно$
$ = сильно 2 \sin ^2 \angle KMA - 1 = $\frac{15}{17}$ = сильно \sin ^2 \angle KMA = $\frac{16}{17}$ \underset 0 ^{\circ} меньше \angle KMA меньше 90 ^{\circ} \mathop = сильно \sin \angle KMA = \frac{4 $\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента}{17}$ $\cos ( 180 ^{\circ} - 2 \angle KMA ) = $\frac{15}{17}$ = сильно$
$ = сильно - \cos 2 \angle KMA = $\frac{15}{17}$ = сильно 2 \sin ^2 \angle KMA - 1 = $\frac{15}{17}$ = сильно$
$ = сильно \sin ^2 \angle KMA = $\frac{16}{17}$ \underset 0 ^{\circ} меньше \angle KMA меньше 90 ^{\circ} \mathop = сильно \sin \angle KMA = \frac{4 $\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента}{17}$

Следовательно,

$\frac{CH}{EK} = \frac{3 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \sin \angle KMA}{EK} = \frac{12 $\sqrt{аргумента: 34}$ аргумента}{17} : \frac{15 $\sqrt{аргумента: 34}$ аргумента}{17} = $\frac{12}{15}$ = \frac{4}{5}$

Ответ: б)  $\frac{4}{5}$