В треугольнике ABC биссектриса угла B пересекает описанную окружность этого треугольника в точке F. Точка E — центр окружности, касающейся стороны АС и продолжений сторон AB и BC (вневписанной окружности). Точка O — центр вписанной окружности треугольника ABC.
а) Докажите, что отрезки AF и OF равны.
б) Найдите длину отрезка CF, если OE = 14.
а) Докажите, что отрезки AF и OF равны.
б) Найдите длину отрезка CF, если OE = 14.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] а) Углы FAC и FBC равны как вписанные, AO — биссектриса, поэтому
$\angle BAO=\angle OAC$
$\angle FOA=\angle OBA + \angle OAB=\angle FAC + \angle OAC=\angle FAO$
значит, треугольник FAO = бедренный, поэтому $OF=AF$
б) Точка E лежит на пересечении биссектрисы угла B и биссектрисы внешнего угла A. Имеем:
$\angle OAE= $\frac{1}{2}$ \angle BAC + $\frac{1}{2}$ ( 180 ^{\circ} - \angle BAC ) =90 ^{\circ}$
следовательно, треугольник OAE прямоугольный. Далее, $AF=FO$ значит, AF — медиана. Найдём её:
$AF= $\frac{1}{2}$ OE=7$
Теперь рассмотрим треугольник AFC:
$\angle ACF=\angle ABF=\angle FBC=\angle FAC$
значит, $AF=FC=7$
Ответ: 7.
$\angle BAO=\angle OAC$
$\angle FOA=\angle OBA + \angle OAB=\angle FAC + \angle OAC=\angle FAO$
значит, треугольник FAO = бедренный, поэтому $OF=AF$
б) Точка E лежит на пересечении биссектрисы угла B и биссектрисы внешнего угла A. Имеем:
$\angle OAE= $\frac{1}{2}$ \angle BAC + $\frac{1}{2}$ ( 180 ^{\circ} - \angle BAC ) =90 ^{\circ}$
следовательно, треугольник OAE прямоугольный. Далее, $AF=FO$ значит, AF — медиана. Найдём её:
$AF= $\frac{1}{2}$ OE=7$
Теперь рассмотрим треугольник AFC:
$\angle ACF=\angle ABF=\angle FBC=\angle FAC$
значит, $AF=FC=7$
Ответ: 7.
Правильный ответ:
7
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 64311 • Задание №1
[рис.] Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 8 и 12, а угол между ними равен 30°....
ID 69335 • Задание №15
В прямоугольном неравнобедренном треугольнике ABC из вершины С прямого угла проведены высота CH, медиана СМ и ...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №17 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69977
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно...
ID 69978
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M ...
ID 69979
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опуст...
ID 69980
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треуго...
ID 69981
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB...