а)  Вписанные углы NCM и MBN опираются на одну и ту же дугу, следовательно, они равны. Поскольку

$\frac{1}{2} \angle ACB=\angle MCN=\angle MBN= $\frac{1}{2}$ \angle ABC$

получаем $\angle ACB=\angle ABC$ то есть треугольник ABC = бедренный.
[рис.] б)  Поскольку

$\angle BCN=\angle MCN=\angle MBN=\angle MBC$

получаем, что $BN=NM=MC=14$ и прямая MN параллельна прямой BC. Отрезок BC равен 35.
Пусть AK  — биссектриса, медиана и высота треугольника ABC. Прямая AK проходит через точку P  — центр вписанной окружности. Треугольник ANM подобен треугольнику ABC, следовательно,

$\frac{AN}{AB} = $\frac{MN}{BC}$ = \frac{2}{5}$

Тогда

$AB= $\frac{5}{3}$ BN= \frac{70}{3}$
$AK= $\sqrt{аргумента: AB ^2 - BK ^2}$ аргумента = \sqrt{аргумента: ( $\frac{70}{3}$ ) ^2 - ( $\frac{35}{2}$ ) ^2} аргумента = \frac{35 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}{6}$

Площадь треугольника ABС равна

$S_ABC= $\frac{1}{2}$ AK \cdot BC= $\frac{1}{2}$ PK \cdot ( AB + AC + BC )$

а значит,

$PK= $\frac{AK \cdot BC}{AB + AC + BC}$ = \frac{\tfrac35 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}{6} \cdot 35\tfrac703 + \tfrac703 + 35= \frac{5 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}{2}$

$AP=AK - PK= \frac{35 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}{6} - \frac{5 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}{2} = \frac{10 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}{3}$

В четырёхугольнике AMPN диагонали AP и MN перпендикулярны, следовательно, его площадь равна

$S_AMPN= $\frac{1}{2}$ AP \cdot MN= $\frac{1}{2}$ \cdot \frac{10 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}{3} \cdot 14= \frac{70 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}{3}$

Ответ: б) $\frac{70 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}{3}$