[рис.] а)  Заметим, что вписанный угол ADC опирается на диаметр, поэтому CD  — высота треугольника ABC. Далее, MC  =  MD как касательные к окружности (MC  — касательная, поскольку угол MCO прямой). Треугольник MCD = бедренный, поэтому углы MCD и MDC равны. Далее вычислим:

$\angle MDB=90 в степени ( \circ ) - \angle MDC=90 в степени ( \circ ) - \angle MCD=\angle MBD$

Отсюда MB  =  MD, а значит, и BM  =  CM. Что и требовалось доказать.
б)  Заметим, что OM  — средняя линия треугольника ABC, поэтому отрезки OK и AB параллельны. Отсюда

$BK:KP=DM:MP=CM:MP= \cos \angle CMP$

Вычислим отношение BK к KP:

$\cos \angle CMP= \cos 2\angle MCD= \cos 2\angle BAC=2 \cdot ( $\frac{4}{5}$ ) ^2 - 1= \frac{7}{25}$

Ответ: $\frac{7}{25}$