В окружности с центром О отрезок ЕК — диаметр. Хорды ЕT и KS проведены так, что точки Т и S лежат по одну сторону от прямой EK. Точка пересечения прямых КT и ES находится от точек T и S на расстоянии 5, $\angle T K E = 60 в степени ( \circ )$
а) Докажите, что точка пересечения прямых КT и ES находится вне окружности.
б) Найдите радиус окружности.
а) Докажите, что точка пересечения прямых КT и ES находится вне окружности.
б) Найдите радиус окружности.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] а) Пусть прямые KT и ES пересекаются в точке M. Тогда $MT \cdot MK = MS \cdot ME$ По условию MS = MT, следовательно, MK = ME и SE = TK. Треугольники EKT и KES равны по катету и гипотенузе, значит, $\angle KES = 60 ^{\circ}$ откуда $KME = 60 ^{\circ} меньше 90 ^{\circ}$ Из этого следует, что точка M лежит вне окружности.
б) Отрезки ET и KS — высоты = стороннего треугольника KEM. Тогда они являются его медианами. Таким образом,
$EM = 2 MS = 10 = EK$
следовательно, $R = $\frac{EK}{2}$ = 5$
Ответ: б) 5.
б) Отрезки ET и KS — высоты = стороннего треугольника KEM. Тогда они являются его медианами. Таким образом,
$EM = 2 MS = 10 = EK$
следовательно, $R = $\frac{EK}{2}$ = 5$
Ответ: б) 5.
Правильный ответ:
б) 5
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 64609 • Задание №2
На автозаправке клиент отдал кассиру 1000 рублей и залил в бак 28 литров бензина по цене 28 руб. 50 коп. за ли...
ID 70257 • Задание №17
В остроугольном треугольнике ABC высоты BB1 и CC1 пересекаются в точке H.
а) Докажите, что $\angle BAH=\angle...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а),
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а),
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №17 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69977
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно...
ID 69978
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M ...
ID 69979
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опуст...
ID 69980
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треуго...
ID 69981
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB...