Биссектриса угла ADC параллелограмма ABCD пересекает прямую AB в точке E. В треугольник ADE вписана окружность, касающаяся стороны AE в точке K и стороны AD в точке T.
а) Докажите, что прямые KT и DE параллельны.
б) Найдите угол BAD, если известно, что AD = 8 и KT = 4.
а) Докажите, что прямые KT и DE параллельны.
б) Найдите угол BAD, если известно, что AD = 8 и KT = 4.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] а) Прямые AE и CD параллельны, a DE — биссектриса угла ADC, поэтому ∠AED = ∠CDE = ∠ADE. Значит, треугольник ADE = бедренный, AD = АЕ. Отрезки АK и AT касательных, проведённых к окружности из точки A, равны, значит, треугольник ATK также = бедренный, причём угол при вершине A у этих треугольников общий. Поэтому ∠ATK = ∠ADE. Следовательно, KT || DE.
б) Пусть окружность касается основания DE = бедренного треугольника ADE в точке М. Тогда M — середина DE. Обозначим DM = x. Тогда DT = DM = x, AT = AD − DT = 8 − x. Треугольник ATK подобен треугольнику ADE, поэтому $\frac{AT}{AD} = \frac{TK}{DE}$ или $\frac{8 - x}{8} = \frac{4}{2x}$ [рис.] Отсюда находим, что x = 4. Тогда DE = 2х = 8, значит, треугольник ADE = сторонний. Следовательно, ∠BAD = ∠EAD = 60°.
Ответ: 60°.
б) Пусть окружность касается основания DE = бедренного треугольника ADE в точке М. Тогда M — середина DE. Обозначим DM = x. Тогда DT = DM = x, AT = AD − DT = 8 − x. Треугольник ATK подобен треугольнику ADE, поэтому $\frac{AT}{AD} = \frac{TK}{DE}$ или $\frac{8 - x}{8} = \frac{4}{2x}$ [рис.] Отсюда находим, что x = 4. Тогда DE = 2х = 8, значит, треугольник ADE = сторонний. Следовательно, ∠BAD = ∠EAD = 60°.
Ответ: 60°.
Правильный ответ:
60°
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 64899 • Задание №3
[рис.] В правильной шестиугольной пирамиде боковое ребро равно 17, а сторона основания равна 8. Найдите высоту...
ID 68333 • Задание №14
В кубе ABCDA1B1C1D1 отмечены середины P и E отрезков AB и AD соответственно.
а) Докажите, что прямые B1E и СР...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №17 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69977
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно...
ID 69978
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M ...
ID 69979
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опуст...
ID 69980
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треуго...
ID 69981
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB...