[рис.] а)  Пусть ребро куба = a. Проведем прямую EF параллельную прямой CP, получим подобные треугольники DEF и BCP. Значит,

$AE=ED= \frac{a}{2}$ $DF= \frac{a}{4}$ $FC= \frac{3a}{4}$

откуда

$EF= $\sqrt{аргумента: ED ^2 + DF ^2}$ аргумента = \frac{$\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{4}$ $B_1E= $\sqrt{аргумента: AE ^2 + AB ^2 + BB_1 ^2}$ аргумента = \frac{3a}{2}$ $B_1F= $\sqrt{аргумента: FC ^2 + BC ^2 + BB_1 ^2}$ аргумента = \frac{a $\sqrt{аргумента: 41}$ аргумента}{4}$

Нетрудно заметить, что $EF ^2 + B_1E ^2 =B_1F ^2$ следовательно, по теореме, обратной теореме Пифагора, отрезки B1E и EF перпендикулярны.

б)  Пусть R  — точка пересечения прямых CP и BE. Заметим, что прямая CP перпендикулярна прямой BE и прямая CP перпендикулярна прямой B1B. Следовательно, прямая CP перпендикулярна плоскости BEB1, а потому расстояние между скрещивающимися прямыми B1E и СР = длине перпендикуляра RH, проведенного из точки R на прямую B1E.
Треугольники BPR и BEA  — подобны, следовательно, $\frac{BR}{PB} = \frac{AB}{BE}$ откуда

$BR= $\frac{AB \cdot PB}{BE}$ = \frac{a $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{5}$ $ER=BE - BR= \frac{3a $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{10}$

Треугольники RHE и BEB1 подобны, следовательно, $\frac{RH}{BB_1} = \frac{ER}{B_1E}$ откуда

$RH= $\frac{ER \cdot BB_1}{B_1E}$ = \frac{a $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{5}$

где $B_1E= $\frac{3a}{2}$ =5 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента$ Тогда $a= \frac{10 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{3}$ откуда $RH= \frac{10}{3}$

Ответ: б) $d ( B_1E, CP ) = \frac{10}{3}$