[рис.] а)  Пусть BD и AC пересекаются в точке M. ABCD  — описанный четырёхугольник, поэтому $AB + CD=BC + AD=s$ Будем считать, что $AB=x$ $BC=y$ $CD=s - x$ и $AD=s - y$ Углы ABC и ADC прямые, поскольку AC  — диаметр. По теореме Пифагора получаем $AC ^2 =x ^2 + y ^2$ и $AC ^2 = ( s - x ) ^2 + ( s - y ) ^2$ Отсюда следует, что $x + y=s$ то есть $AB=AD$ и $BC=DC$ Это значит, что треугольники ABC и ADC равны по третьему признаку равенства треугольников, поэтому $\angle ACB=\angle ACD$ Следовательно, CM  — биссектриса треугольника DBC, а также его высота и медиана.
б)  Пусть O  — центр окружности, описанной около четырёхугольника ABCD. Тогда её радиус $OB= $\frac{1}{2}$ AC=13$ поэтому $OM= $\sqrt{аргумента: OB ^2 - BM ^2}$ аргумента =5$ Допустим, что $AM меньше MC$ тогда $AM = 8$ и $MС =18$ Рассматривая прямоугольные треугольники AMB и ABC, можем записать $\cos \angle BAM= $\frac{AM}{AB}$ = \frac{AB}{AC}$ следовательно, $AB= $\sqrt{аргумента: AM \cdot AC}$ аргумента =4 $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента$ Аналогично $BC = 6 $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента$ поэтому полупериметр четырёхугольника ABCD равен $10 $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента$ Площадь же четырёхугольника ABCD равна $\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = 312$ Искомый радиус вписанной окружности равен $\frac{312}{10 $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента} = \frac{12 $\sqrt{аргумента: 13}${} аргумента} 5$

Ответ: б) $\frac{12 $\sqrt{аргумента: 13}${} аргумента} 5$