[рис.] а)  Пусть O  — центр окружности, R  — её радиус. Тогда $OE=EM=EK= \frac{R $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2}$ Далее, поскольку $\angle EOK=45 ^{\circ} =\angle KOB=\angle BON$ тогда $\angle EOB=90 ^{\circ}$ Отсюда, по теореме Пифагора,

$EB ^2 =EO ^2 + OB ^2 = $\frac{R ^2}{2}$ + R ^2 = \frac{3R ^2}{2}$

С другой стороны,

$AE \cdot EB= ( \frac{R $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} ) \cdot ( \frac{R $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} ) = \frac{R ^2}{2}$
$\frac{AE}{EB} = $\frac{AE \cdot EB}{EB ^2}$ = $\frac{\tfracR ^2}{2}$ \tfrac3R ^2 2= \frac{1}{3}$

что и требовалось доказать.
б)  Имеем:

$AB= $\frac{4}{3}$ EB= $\frac{4}{3}$ \cdot \sqrt{аргумента: $\frac{3R ^2}{2}$} аргумента = \frac{2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента R}{3}$

Диагональ прямоугольника, вписанного в окружность, это диаметр окружности. Следовательно,

$AB= \frac{2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{3} \cdot \frac{3 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}{2} = $\sqrt{аргумента: 42}$ аргумента ,\quad\quad\quad AC=3 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента ,\quad\quad\quad BC ^2 = ( 3 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента ) ^2 - ( $\sqrt{аргумента: 42}$ аргумента ) ^2 =21$ $AB= \frac{2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{3} \cdot \frac{3 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}{2} = $\sqrt{аргумента: 42}$ аргумента ,\quad\quad\quad AC=3 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента ,\quad$
$\quad\quad\quad BC ^2 = ( 3 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента ) ^2 - ( $\sqrt{аргумента: 42}$ аргумента ) ^2 =21$

Тогда $S_ABCD=AB \cdot BC= $\sqrt{аргумента: 42}$ аргумента \cdot $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента =21 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$

Ответ: б) $21 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$