Окружность, вписанная в = бедренную трапецию ABCD, касается боковых сторон AB и CD в точках M и N соответственно. Отрезок AN пересекает окружность в точке K, а луч MK пересекает основание AD в точке L.
а) Докажите, что треугольник AKL подобен треугольнику MAL.
б) Найдите отношение AL : LD.
а) Докажите, что треугольник AKL подобен треугольнику MAL.
б) Найдите отношение AL : LD.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] а) Трапеция = бедренная, значит, $BP=PC=MB=CN$ поскольку точка P — точка касания окружности и основания BC. Тогда отрезок MN параллелен основанию BC и $\angle MNK = \angle KAL$ По теореме об угле между касательной и хордой получаем, что $\angle AMK=\angle MNK$ Значит, $\angle AML = \angle KAL$ и треугольники AKL и MAL подобны по двум углам.
б) Из доказанного подобия следует, что $AL : LK = LM : AL$ откуда $AL ^2 = LM \cdot LK$ С другой стороны, по теореме о квадрате касательной получаем, что $LQ ^2 =LM \cdot LK$ поскольку точка Q — точка касания окружности с основанием AD. Тогда AL = LQ, следовательно, $AL= $\frac{1}{2}$ AQ = $\frac{1}{4}$ AD$ значит, AL : LD = 1 : 3.
Ответ: б) 1 : 3.
б) Из доказанного подобия следует, что $AL : LK = LM : AL$ откуда $AL ^2 = LM \cdot LK$ С другой стороны, по теореме о квадрате касательной получаем, что $LQ ^2 =LM \cdot LK$ поскольку точка Q — точка касания окружности с основанием AD. Тогда AL = LQ, следовательно, $AL= $\frac{1}{2}$ AQ = $\frac{1}{4}$ AD$ значит, AL : LD = 1 : 3.
Ответ: б) 1 : 3.
Правильный ответ:
б) 1 : 3
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 69457 • Задание №16
Егор положил в банк некоторую сумму денег. Через год, после начисления процентов, он добавил на свой счет сумм...
ID 71831 • Задание №19
В спортивной секции занимается более 20 и менее 45 школьников. На областное соревнование было заявлено более п...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а),
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а),
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №17 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69977
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно...
ID 69978
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M ...
ID 69979
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опуст...
ID 69980
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треуго...
ID 69981
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB...