[рис.] а)  Центр вписанной в четырехугольник окружности лежит на пересечении его биссектрис. Поэтому $\angle KAO = $\frac{1}{2}$ \angle BAD$ и $\angle KBO = $\frac{1}{2}$ \angle ABC$ Следовательно,

$\angle KAO + \angle KBO = $\frac{1}{2}$ ( \angle BAD + \angle ABC ) = 90 ^{\circ}$

а значит, треугольник AOB прямоугольный. Пусть отрезок OK  — его высота, тогда $KO ^2 = AK \cdot BK$ Запишем площадь треугольника AOB двумя способами:

$S = $\frac{KO \cdot AB}{2}$ = \frac{BO \cdot AO}{2}$

откуда $\sqrt{аргумента: AK \cdot BK} аргумента \cdot AB = AO \cdot BO$ Что и требовалось доказать.
б)  Пусть точки касания окружности со сторонами BC, CD и DA это точки L, M и N соответственно. Пусть также $BL = BK = b$ и $AK = AN = a$ Обозначим P  — точку пересечения отрезков KM и LN, и проведем BH  — высоту трапеции. Тогда треугольники ABH и OKP подобны по двум углам, откуда $\frac{KP}{KO} = \frac{BH}{AB}$ Значит,

$KM =2KP= $\frac{KO \cdot BH}{AB}$ = \frac{$\sqrt{аргумента: ab}$ аргумента \cdot $\sqrt{аргумента: ( a + b ) ^2 - ( a - b ) ^2}$ аргумента}{a + b} = \frac{2 ab}{a + b}$

Находим:

$S_KLMN = $\frac{1}{2}$ \cdot LN \cdot KM = $\frac{1}{2}$ \cdot $\frac{4ab}{a + b}$ \cdot LN = $\frac{16}{81}$ \cdot S_ABCD = $\frac{16}{81}$ \cdot $\frac{1}{2}$ \cdot ( 2a + 2b ) \cdot LN$ $S_KLMN = $\frac{1}{2}$ \cdot LN \cdot KM = $\frac{1}{2}$ \cdot $\frac{4ab}{a + b}$ \cdot LN =$
$= $\frac{16}{81}$ \cdot S_ABCD = $\frac{16}{81}$ \cdot $\frac{1}{2}$ \cdot ( 2a + 2b ) \cdot LN$

откуда

$\frac{2 ab}{a + b} = $\frac{16}{81}$ \cdot ( a + b ) = сильно 8 ( a + b ) ^2 = 81 ab = сильно$
$ = сильно 8 a ^2 - 65 ab + 8b ^2 = 0 = сильно ( 8a - b ) ( a - 8b ) = 0 = сильно $\frac{2a}{2b}$ = \frac{1}{8}$ $\frac{2 ab}{a + b} = $\frac{16}{81}$ \cdot ( a + b ) = сильно 8 ( a + b ) ^2 = 81 ab = сильно$
$ = сильно 8 a ^2 - 65 ab + 8b ^2 = 0 = сильно$
$ = сильно ( 8a - b ) ( a - 8b ) = 0 = сильно $\frac{2a}{2b}$ = \frac{1}{8}$

Ответ: б) $\frac{1}{8}$