[рис.] а)  Пусть точка M  — середина стороны AB. Заметим, что DM  — медиана и высота, а следовательно, и биссектриса = бедренного треугольника ADB, значит, точка O принадлежит DM. Треугольники DOP и OKM прямоугольные. При этом $\angle POD = \angle KOM$ значит, $\angle PDO = \angle OKM$ Тогда

$\angle ODB = \angle PDO = \angle OKM = 180 ^{\circ} - \angle OKB$

следовательно, четырёхугольник BDOK является вписанным.
б)  Заметим, что $AC ^2 + CB ^2 = 81 + 19 = AB ^2$ тогда по обратной теореме Пифагора: $\angle ACB = 90 ^{\circ}$ Откуда находим: $\cos \angle CAB = \frac{9}{10}$
Прямая AO  — биссектриса угла DAB. Пусть $\angle OAM = альфа$ Тогда

$\frac{9}{10} = 2 \cos ^2 альфа - 1 = сильно \cos ^2 альфа = $\frac{19}{20}$ = сильно \cos альфа = \sqrt{аргумента: $\frac{19}{20}$} аргумента$

откуда $\sin альфа = \sqrt{аргумента: $\frac{1}{20}$} аргумента , \text{tg} альфа = \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 19}$ аргумента}$ тогда $OM=5 \cdot \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 19}$ аргумента} = \frac{5 $\sqrt{аргумента: 19}$ аргумента}{19}$
Так как $\text{tg} \angle CAB = \frac{$\sqrt{аргумента: 19}$ аргумента}{9}$ то

$DM = AM \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 19}$ аргумента}{9} = \frac{5 $\sqrt{аргумента: 19}$ аргумента}{9}$

Cледовательно,

$DO = 5 $\sqrt{аргумента: 19}$ аргумента ( $\frac{1}{9}$ - $\frac{1}{19}$ ) = \frac{50 $\sqrt{аргумента: 19}$ аргумента}{171}$

По теореме \sin ов $\frac{DO}{\sin \angle DBO} = 2 R$ где R  — радиус окружности, описанной около четырехугольника BDOK. Тогда

$2R= \frac{50 $\sqrt{аргумента: 19}$ аргумента}{171} : \sin альфа = \frac{50 $\sqrt{аргумента: 19}$ аргумента}{171} \cdot $\sqrt{аргумента: 20}$ аргумента$

Таким образом, $R = \frac{50 $\sqrt{аргумента: 95}$ аргумента}{171}$

Ответ: б) $\frac{50 $\sqrt{аргумента: 95}$ аргумента}{171}$