Найдите все значения параметра a такие, что каждый корень уравнения
$2x в степени 4 - $\frac{4}{3}$ a ^3 =7a ^2 + 6a - 162 \sin |x|$
является корнем данного уравнения только при одном значении параметра.
$2x в степени 4 - $\frac{4}{3}$ a ^3 =7a ^2 + 6a - 162 \sin |x|$
является корнем данного уравнения только при одном значении параметра.
💡 Пошаговый разбор и решение:
Преобразуем уравнение
$2x в степени 4 + 162 \sin |x|= $\frac{4}{3}$ a ^3 + 7a ^2 + 6a$
Ясно, что если x является корнем при двух различных значениях параметра, то выражения $\frac{4}{3} a ^3 + 7a ^2 + 6a$ для этих значений одинаковы. Исследуем для начала, при каких значениях a функция $\frac{4}{3} a ^3 + 7a ^2 + 6a$ принимает одно и то же значение несколько раз.
Ее производная $2 ( a + 3 ) ( 2a + 1 )$ поэтому она имеет максимум при $a= - 3$ (значение 9) и минимум при $a= - \frac{1}{2}$ (значение $ - \frac{17}{12}$ ).
Значит, она принимает значения в промежутке $( - $\frac{17}{12}$ ;9 )$ по три раза, а сами $\{ - $\frac{17}{12}$ ;9 \}$ по два раза.
Поэтому задача свелась к такой — при каких x выполняется $2x в степени 4 + 162 \sin |x| меньше - \frac{17}{12}$ или $2x в степени 4 + 162 \sin |x| больше 9$
Первое, очевидно, невозможно — при $|x| меньше \pi$ имеем $2x в степени 4 + 162 \sin |x| больше или = 0$ при прочих x имеем
$2x в степени 4 + 162 \sin |x| больше или = 2 \cdot 3 в степени 4 - 162=0$
Второе возможно — $2x в степени 4 + 162 \sin |x|$ очевидно, принимает все положительные значения.
Осталось выяснить, когда $\frac{4}{3} a ^3 + 7a ^2 + 6a больше 9$ то есть $4a ^3 + 21a ^2 + 18a - 27= ( a + 3 ) ^2 ( 4a - 3 ) больше 0$ Это происходит при $a больше C$
Ответ: $a больше \frac{3}{4}$
$2x в степени 4 + 162 \sin |x|= $\frac{4}{3}$ a ^3 + 7a ^2 + 6a$
Ясно, что если x является корнем при двух различных значениях параметра, то выражения $\frac{4}{3} a ^3 + 7a ^2 + 6a$ для этих значений одинаковы. Исследуем для начала, при каких значениях a функция $\frac{4}{3} a ^3 + 7a ^2 + 6a$ принимает одно и то же значение несколько раз.
Ее производная $2 ( a + 3 ) ( 2a + 1 )$ поэтому она имеет максимум при $a= - 3$ (значение 9) и минимум при $a= - \frac{1}{2}$ (значение $ - \frac{17}{12}$ ).
Значит, она принимает значения в промежутке $( - $\frac{17}{12}$ ;9 )$ по три раза, а сами $\{ - $\frac{17}{12}$ ;9 \}$ по два раза.
Поэтому задача свелась к такой — при каких x выполняется $2x в степени 4 + 162 \sin |x| меньше - \frac{17}{12}$ или $2x в степени 4 + 162 \sin |x| больше 9$
Первое, очевидно, невозможно — при $|x| меньше \pi$ имеем $2x в степени 4 + 162 \sin |x| больше или = 0$ при прочих x имеем
$2x в степени 4 + 162 \sin |x| больше или = 2 \cdot 3 в степени 4 - 162=0$
Второе возможно — $2x в степени 4 + 162 \sin |x|$ очевидно, принимает все положительные значения.
Осталось выяснить, когда $\frac{4}{3} a ^3 + 7a ^2 + 6a больше 9$ то есть $4a ^3 + 21a ^2 + 18a - 27= ( a + 3 ) ^2 ( 4a - 3 ) больше 0$ Это происходит при $a больше C$
Ответ: $a больше \frac{3}{4}$
Правильный ответ:
$a больше дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 65832 • Задание №7
Найдите $минус 47 косинус 2 альфа$ если $косинус альфа = минус 0,4$...
ID 67365 • Задание №12
Решите неравенство: $логарифм по основанию 2 в квадрате дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: 2x минус 1 ко...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен правильный ответ. | 4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a
ИЛИ
установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен правильный ответ. | 4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a
ИЛИ
установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
🔗 Другие задания линии №17 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69977
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно...
ID 69978
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M ...
ID 69979
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опуст...
ID 69980
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треуго...
ID 69981
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB...