Обозначим $a=32b ^2 больше или = 0$ и перепишем уравнение в виде

$3 корень 5 степени из: начало аргумента: x + 2 конец аргумента - a корень 5 степени из: начало аргумента: x + 1 конец аргумента = корень 10 степени из: начало аргумента: ( x + 1 ) ( x + 2 ) конец аргумента$

Сразу заметим, что x  =  −1 корнем этого уравнения не будет.
Разберем два случая.
Случай 1. $x больше - 1$ Поделим тогда обе части уравнения на $корень 5 степени из: начало аргумента: x + 1 конец аргумента$ Получим

$3 корень 5 степени из: начало аргумента: $\frac{x + 2}{x + 1}$ конец аргумента - a= корень 10 степени из: начало аргумента: $\frac{x + 2}{x + 1}$ конец аргумента$

Обозначая $t= корень 10 степени из: начало аргумента: $\frac{x + 2}{x + 1}$ конец аргумента$ получаем

$3t ^2 - a=t$
$3t ^2 - t - a=0$

Заметим, что при $x больше - 1$ переменная t принимает все значения из промежутка $( 1; бесконечность )$ причем ровно по одному разу. Поэтому вопрос сводится к тому, сколько корней на промежутке $( 1; бесконечность )$ имеет это квадратное уравнение.
Случай 2. $x меньше или = - 2$ Поделим тогда обе части уравнения на $корень 5 степени из: начало аргумента: x + 1 конец аргумента$ Получим

$3 корень 5 степени из: начало аргумента: $\frac{x + 2}{x + 1}$ конец аргумента - a= - корень 10 степени из: начало аргумента: $\frac{x + 2}{x + 1}$ конец аргумента$

Обозначая $t= - корень 10 степени из: начало аргумента: $\frac{x + 2}{x + 1}$ конец аргумента$ получаем

$3t ^2 - a=t$
$3t ^2 - t - a=0$

Заметим, что при $x меньше или = - 2$ переменная t принимает все значения из промежутка (−1; 0], причем ровно по одному разу. Поэтому вопрос сводится к тому, сколько корней на промежутке (−1; 0] имеет это квадратное уравнение.
Итак, задача свелась к такой  — при каких значениях параметра a уравнение $3t ^2 - t - a=0$ имеет ровно один корень на множестве $( - 1;0 ] \cup ( 1; бесконечность )$
Во-первых, это может произойти, если его дискриминант равен нулю. $1 + 12a=0$ Это невозможно при неотрицательных a.
Во-вторых, это может произойти, если его дискриминант положителен, но только один корень лежит в нужном множестве. Эти корни равны $\frac{1\pm $\sqrt{аргумента: 1 + 12a}$ аргумента}{6}$
Если a  =  0, то корни равны $0, \frac{1}{3}$ и это нам подходит.
Если $0 меньше a\leqslant2$ то $1 + 12a\leqslant25$ поэтому $ - 1 меньше \frac{1 - $\sqrt{аргумента: 1 + 12a}$ аргумента}{6} меньше 0$ и $0 меньше \frac{1 + $\sqrt{аргумента: 1 + 12a}${} аргумента} 6 меньше или = 1$ нам подходит.
Если $2 меньше a меньше 4$ то $25 меньше 1 + 12a меньше 49$ поэтому $ - 1 меньше \frac{1 - $\sqrt{аргумента: 1 + 12a}$ аргумента}{6} меньше 0$ и $1 меньше \frac{1 + $\sqrt{аргумента: 1 + 12a}$ аргумента}{6}$ нам не подходит.
Если $a больше или = 4$ то $1 + 12a больше или = 49$ поэтому $\frac{1 - $\sqrt{аргумента: 1 + 12a}$ аргумента}{6} меньше или = - 1$ и $1 меньше \frac{1 + $\sqrt{аргумента: 1 + 12a}$ аргумента}{6}$ нам подходит.
Итак,

$a принадлежит [ 0;2 ] \cup [ 4; бесконечность )$
$32b ^2 принадлежит [ 0;2 ] \cup [ 4; бесконечность )$
$b ^2 принадлежит [ 0; $\frac{1}{16}$ ] \cup [ $\frac{1}{8}$ ; бесконечность )$
$b принадлежит ( - бесконечность ; - \frac{1}{2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} ] ) \cup [ - $\frac{1}{4}$ ; $\frac{1}{4}$ ] \cup [ \frac{1}{2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} ; бесконечность )$

Ответ: $b принадлежит ( - бесконечность ; - \frac{1}{2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} ] \cup [ - $\frac{1}{4}$ ; $\frac{1}{4}$ ] \cup [ \frac{1}{2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} ; бесконечность )$